我要学大物11

科里奥利力

考虑在一个逆时针转动的圆盘上，一个人朝着圆心扔球。

注意球的切向速度不变，然而距离圆心的距离 \(r\) 减小了。

因此在人的视角，球会沿着逆时针的方向受到一个力，即科里奥利力。

柯尼希定理

总动能等于质心动能加质心系下的总动能。

\[E_k = E_{kC}+E_{k,in} \]

两体问题

有约化质量：

\[\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2} \]

实际上就是：

\[\dfrac{F}{m_1}+\dfrac{F}{m_2}=\dfrac{F}{\mu}\\ a_1+a_2=a_\mu \]

简单流体学

连续性方程，实际上就是说液体不能凭空出现或消失：

\[S_1v_1=S_2v_2 \]

伯努利方程

在液体性质很好的时候有：

\[p+\dfrac{\rho v^2}{2}+\rho gh=C \]

这里 \(C\) 表示一个常量。

实际就是机械能守恒，一段液体受到的功是

\[(S_1p_1v_1t-S_2p_2v_2t)+V\rho g\Delta h \]

实际全部转化为了动能。注意 \(V=S_1p_1t=S_2p_2t\) 就得到了这个方程。

感性上，速度越大的位置，压力越小。

刚体转动

简单的情况是定轴的转动。此时刚体只在轴的方向上有角加速度。

转动惯量

\(J=\sum \Delta m_i r_i^2\)

转动惯量对应质量。我们有：

\[M=J\alpha \]

其中 \(M\) 是和力矩，\(\alpha\) 是角加速度。

几个常见的转动惯量：

圆盘: 1/2mR^2
圆环: mR^2
杆: 1/12mL^2
半杆: 1/3mL^2

平行轴定理

\[J=J_C+md^2 \]

这里 \(J_C\) 指过质点的轴。

转动动能

定义转动动能（即总动能）：

\[E_k=\dfrac{Jw^2}{2} \]

狭义相对论

\(\beta=u/c,\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\)

\[x'/c=\gamma(x/c-\beta t) \\ t'=\gamma(t-\beta x/c) \]

注意速度的定义式始终是 \(v=dr/dt\)。

\[v_x'=\dfrac{dx'/dt}{dt'/dt}=\dfrac{v_x-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x} \\ v_y'=\dfrac{dy'/dt}{dt'/dt}=\dfrac{v_y}{\gamma(1-\frac{u}{c^2}v_x)} \\ \]

相对论质量 \(m=\gamma m_0\)。随着速度增加，物体的质量也在增加。

相对论动量 \(p=mv\)。

相对论能量 \(E=mc^2\)。注意这里 \(m\) 是相对论质量。

\(E^2=p^2c^2+m_0^2c^4\)，注意这里 \(m_0\) 是静质量。

\[p_x'=\gamma(p_x-\beta E/c) \\ E'/c=\gamma(E/c-\beta p_x) \]

波

半波损失

提供一个理解的方法。

首先考虑摇绳子，其中一段被拴住了。被拴住的一段显然是波节（因为没有振动），自然要对应一个反向的波使得抵消以后恰好作为波节，于是产生了半波损失。

如果是不栓住的一段，即开放段，一定作为波腹才能稳定。

考虑其他的波传播的情况。

波在波密介质中传播的能量相对更大，在波疏介质的能量小。

因此从疏到密传播时，类比成弹性碰撞，波被弹了回去。界面处不倾向于振动，这和绳子的部分一样。

从密到疏传播时，可以很顺利的弹过去。界面处倾向于振动，所以是波腹。