背公式
振动
简谐振动
仅受到恢复力 \(f=-kx\) 作用时,解微分方程即得:
\[x
=A\cos(\omega t+\varphi)
\]
称 \(\varphi\) 为初相,\(A\) 为振幅,\(\omega t+\varphi\) 为相位.
本征角频率,周期,频率,速度,加速度:
\[\omega
=\sqrt\frac km,
T
=\frac{2\pi}\omega,
\nu
=\frac1T
=\frac\omega{2\pi},
v
=-\omega A\sin(\omega t+\varphi),
a
=-\omega^2A\cos(\omega t+\varphi)
=-\omega^2x
\]
初始状态下:
\[x_0
=A\cos\varphi,
v_0
=-\omega A\sin\varphi
\]
遂可得:
\[A
=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}},
\varphi
=-\arctan\frac{v_0}{\omega x_0}
\]
能量:
\[E_k
=\frac12mv^2
=\frac12kA^2\sin^2(\omega t+\varphi),
E_p
=\frac12kx^2
=\frac12kA^2\cos^2(\omega t+\varphi),
E
=E_k+E_p
=\frac12kA^2
\]
积分后取平均:
\[\overline{E_k}
=\overline{E_p}
=\frac14kA^2
\]
振动合成
同向同频率,利用高中的三角技巧:
\[x
=x_1+x_2
=A_1\cos(\omega t+\varphi_1)+A_2\cos(\omega t+\varphi_2)
=A\cos(\omega t+\varphi)
\]
\[A
=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)},
\tan\varphi
=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}
\]
同向同振幅不同频率,相位问题展开解决了事,利用和差化积:
\[x
=x_1+x_2
=A\cos\omega_1t+A\cos\omega_2t
=2A\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}2t)\cos(\frac{\omega_1+\omega_2}2t)
\]
并非简谐运动,但是 \(\omega_2-\omega_1\ll\omega_1+\omega_2\) 时可以看成另外一种振动,其振幅,角频率和拍频为:
\[A_0
=|2A\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}2t)|,
\omega_0
=\frac{\omega_1+\omega_2}2,
\Delta\nu
=2\frac{\nu_2-\nu_1}2
=\nu_2-\nu_1
\]
垂直同频率时是一个二次方程:
\[\frac{x^2}{A_1^2}+\frac{y^2}{A_2^2}-\frac{2xy}{A_1A_2}\cos(\varphi_2-\varphi_1)
=\sin^2(\varphi_2-\varphi_1)
\]
所以所有同频率都可以拆到各方向上然后合成一个二次方程.
垂直不同频率时是不稳定的,但频率比为有理数时构成稳定封闭曲线,称为李萨如图.
阻尼振动
如果还受到一个粘性力 \(f_r=-\gamma v\) 作用时:
\[-kx
-y\dot x
=m\ddot x
\]
先设无阻尼本征角频率,阻尼系数:
\[\omega_0
=\sqrt\frac km,
\beta
=\frac\gamma{2m}
\]
于是当 \(\beta^2<\omega_0^2\) 时称为欠阻尼:
\[x
=A_0\cos(\omega t+\varphi_0)e^{-\beta t}
\]
其中:
\[\omega
=\sqrt{|\omega_0^2-\beta^2|},
T
=\frac{2\pi}\omega
=\frac{2\pi}{\sqrt{|\omega_0^2-\beta^2|}}
\]
\(\beta^2>\omega_0^2\) 时称为过阻尼:
\[x
=(C_1e^{\omega t}+C_2e^{-\omega t})e^{-\beta t}
\]
\(\beta^2=\omega_0^2\) 时称为临界阻尼:
\[x
=(C_1+C_2t)e^{-\beta t}
\]
如果欠阻尼下还有周期性外力 \(F_0=h\cos\omega t\):
\[\ddot x+2\beta\dot x+\omega_0^2x
=h\cos\omega t
\]
可以得到:
\[x
=A_0e^{-\beta t}\cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\varphi_0)+A\cos(\omega t+\varphi)
\]
当 \(t\) 够大时可以把前一项舍掉.后者是一个特解,可以得到:
\[A
=\frac h{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}},
\varphi
=\arctan\frac{-2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}
\]
\(A\) 取得极大值时称为共振,此时频率和振幅为:
\[\omega_r
=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2},
A_r
=\frac h{2\beta\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}
\]
定义品质因数为:
\[Q
=\frac{2\pi E(t)}{E(t)-E(t+T)}
\]
当 \(\beta^2\ll\omega_0^2\) 时一通近似有:
\[Q
=\frac{\omega_0}{2\pi}
\]
波动
简谐波
行波方程的一般形式为:
\[y
=f(t-\frac xu)
\]
特别的,简谐波方程为:
\[y
=A\cos(\omega(t-\frac xu)+\varphi)
\]
其中 \(u\) 为 \(x\) 正向传播速度,周期和频率同最开始的地方,还可以定义波长和波数:
\[T
=\frac{2\pi}\omega,
\nu
=\frac1T
=\frac\omega{2\pi},
\lambda
=uT,
k
=\frac\omega u
=\frac{2\pi}\lambda
\]
此时简谐波方程可写为:
\[y
=A\cos(\omega t-kx+\varphi)
\]
不管初相了,速度为:
\[v
=-\omega A\sin(\omega t-kx)
\]
波动能量
此时我们研究的不是一个质点,而是若干质元,设该质元长度为 \(l\),切面积为 \(S\),质量密度为 \(\rho\),线密度为 \(\rho_l\).
若受到 \(y\) 方向的作用力 \(f\) 后产生倾角 \(\theta\),则可定义切变模量,且可以求出横波波速:
\[G
=\frac f{S\theta},
u
=\sqrt\frac G\rho
\]
弦张紧时,设初始张力为 \(T\),则可以求出横波波速:
\[u
=\sqrt\frac T{\rho_l}
\]
若该质元受到 \(x\) 方向的作用力 \(f\) 后产生长度变化 \(\Delta l\),则定义杨氏模量,且可以求出纵波波速:
\[Y
=\frac{fl}{S\Delta l},
u
=\sqrt\frac Y\rho
\]
若是一个气体或液体,受到 \(\Delta p\) 的压强变化后产生 \(\Delta V\) 的体积变化,则可以定义体积模量,且可以求出横波波速:
\[K
=\frac{\Delta pV}{\Delta V},
u
=\sqrt\frac K\rho
\]
在简谐波下 \(\mathrm dV\) 体积的质元的动能为:
\[\mathrm dE_k
=\frac12(\rho\,\mathrm dV)v^2
=\frac12\rho\omega^2A^2\sin^2(\omega t-kx)\,\mathrm dV
\]
然后小积一手可以得到很巧的是:
\[\mathrm dE_p
=\frac12\rho\omega^2A^2\sin^2(\omega t-kx)\,\mathrm dV
=\mathrm dE_k,
\mathrm dE
=\mathrm dE_p+\mathrm dE_k
=\rho\omega^2A^2\sin^2(\omega t-kx)\,\mathrm dV
\]
除过去得到能量密度和平均能量密度,还可以定义平均能流密度或平均能流强度:
\[w
=\frac{\mathrm dE}{\mathrm dV}
=\rho\omega^2A^2\sin^2(\omega t-kx),
\overline w
=\frac12\rho\omega^2A^2,
I
=\frac{\overline w(u\mathrm dt)\mathrm dS}{\mathrm dt\mathrm dS}
=\frac12\rho\omega^2A^2u
\]
声音传播当成绝热过程,设 \(\gamma\) 为比热,\(T\) 为温度,\(\mu\) 为摩尔质量,\(R\) 为普适气体常量(这几个量待会会变成老熟人):
\[u
=\sqrt\frac{\gamma RT}\mu
\]
声强级定义为:
\[L
=10\lg\frac I{I_0}
\]
单位是 \(\mathrm{dB}\).常量 \(I_0=10^{-12}\mathrm W\cdot\mathrm m^{-1}\),显然是人为设的.
波动叠加
在线性介质中,几列波传播独立,位移直接相加.
每个点在每个时刻都是波源,于是波可绕过缝隙和边缘传播,叫作衍射,缝越窄越显著.
两个波在叠加区稳定加强或减弱成为干涉,把振动合成的公式搬下来:
\[y
=y_1+y_2
=A_1\cos(\omega t-kr_1+\varphi_{10})+A_2\cos(\omega t-kr_2+\varphi_{20})
=A\cos(\omega t+\varphi)
\]
\[A
=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\Delta\varphi},
\Delta\varphi
=(\varphi_{10}-\varphi_{20})-k(r_1-r_2)
\]
称 \(\varphi_{10}-\varphi_{20}\) 为初相差.叠加强度为:
\[I
=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi
\]
称 \(2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi\) 为干涉项.所以若相位差恒定,频率相同,振动方向相同即可干涉.
若相位差无规变化则 \(\overline{\cos\Delta\varphi}=0\),没有干涉项;但凡频率不同就会出现拍,然后没有干涉项;如果垂直那互不干扰,没有干涉项.
两个频率不同的波叠加时,把振动合成的公式搬下来:
\[y
=y_1+y_2
=A\cos(\omega_1t-k_1x)+A\cos(\omega_2t-k_2x)
=2A\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}2t-\frac{k_2-k_1}2x)\cos(\frac{\omega_1+\omega_2}2t-\frac{k_1+k_2}2x)
\]
于是定义群速度和相速度:
\[u_g
=\frac{\omega_2-\omega_1}{k_2-k_1},
u
=\frac\omega k
\]
驻波
特殊时候叫作驻波:
\[y
=y_1+y_2
=A\cos(\omega t-kx)+A\cos(\omega t+kx)
=2A\cos(kx)\cos(\omega t)
\]
各点做同步振幅不同的简谐振动,相位不传播.振幅最大的地方叫波腹,最小的地方叫波节,波腹或波节间相隔 \(\frac\lambda2\).能量在波腹和波节之间的 \(\frac\lambda4\) 上传播.波腹无势能,波节无动能.
一般一点也能叫驻波:
\[y
=y_1+y_2
=A_1\cos(\omega t-kx)+A_2\cos(\omega t+kx)
=2A_1\cos(kx)\cos(\omega t)+(A_2-A_1)\cos(\omega t+\frac{2\pi}\lambda t)
\]
枚举 \(n\) 可以得到简正模式.在两端闭或者两端开时:
\[\lambda_n
=\frac{2L}n,
\nu_n
=\frac u{\lambda_n},
u
=\sqrt\frac T{\rho_l}
\]
在一端开一端闭时:
\[\lambda_n
=\frac{4L}n
\]
可形成驻波的系统在驱动率频率等于某一简正频率时振幅最大,被称为共振.
多普勒效应
机械波传播速度 \(u\) 和参考系有关.设波源和观测者相向速度分别为 \(v_S\) 和 \(v_R\),则考虑波面速度 \(u\) 即得:
\[\nu_R
=\frac{u+v_R}{u-v_S}\nu_S
\]
当 \(v_S>u\) 时出现冲击波或激波,阵面与运动方向夹角为:
\[\theta
=\arcsin\frac u{v_s}
\]
定义马赫数为:
\[\sin^{-1}\theta
=\frac{v_s}u
\]
电磁波传播速度 \(c\) 和参考系无关.设相对速度为 \(v\),根据相对论效应,纵向多普勒效应:
\[\nu_R
=\sqrt\frac{c+v_{//}}{c-v_{//}}\nu_S
\]
横向多普勒效应:
\[\nu_R
=\sqrt{1-\frac{v_\perp^2}{c^2}}\nu_S
\]
于是一般情况设相对速度与连线夹角为 \(\varphi\):
\[\nu_R
=\frac{\sqrt{c^2-v^2}}{c-v\cos\varphi}\nu_s
\]
波动传播
折射定律:
\[\frac{\sin i}{\sin\gamma}
=\frac{u_1}{u_2}
=\frac{\frac c{n_1}}{\frac c{n_2}}
=\frac{n_2}{n_1}
\]
全反射临界角:
\[i_c
=\arcsin\frac{n_2}{n_1}
\]
穿过不同介质时,\(\rho u\) 较小的叫波疏介质,\(\rho u\) 较大的叫波密介质.
从波疏到波密垂直入射时可能有半波损失.本质是反射点不动,和半波的关系为 0.
能量被介质吸收时,有一个吸收系数 \(\alpha\) 为常数:
\[A
=A_0e^{-\alpha x},
I
=I_0e^{-2\alpha x}
\]
波速还可能和频率有关,这种现象称为色散.
接着之前的讨论,群速度和相速度:
\[u_g
=\frac{\mathrm d\omega}{\mathrm dk}
=u-\lambda\frac{\mathrm du}{\mathrm dk},
u
=\frac\omega k
\]
若为无色散介质则 \(\frac{\mathrm du}{\mathrm dk}=0\),相速度等于群速度.色散越严重则 \(|\frac{\mathrm du}{\mathrm dk}|\) 越大,太大了群速度就无意义了.
微观气体
过程量微分应该在 \(\mathrm d\) 上加根线,但是很麻烦就不加了.
强度量为无累加性量;广延量为有累加性量,正比于分子数;(物)态参量为描写平衡态的宏观物理量,之间的方程称为物态方程.
实际数据会偏离统计推测,称为涨落,分子数越大涨落越小,量足够大时涨落会极其小.
平衡态为宏观性质不随时间变化的状态.
稳定态为不随时间变化的的状态.
准静态过程为每一时刻都处于平衡态的过程,即恢复到稳定态的时间极短.
绝热过程为与外界没有热交换的过程,即 \(\mathrm dQ=0\).
循环过程为字面意思.
可逆过程为存在操作能使系统和外界完全复原的过程,可等价于无耗散的准静态过程.
P-V 图上一个点表示一个平衡态,一条线表示一个准静态过程.
理想气体状态方程
\(P\) 为压强,\(V\) 为体积,\(M\) 为质量,\(\mu\) 为摩尔质量,\(N\) 为分子个数,\(m\) 为单个分子质量,\(n=\frac NV\) 为分子数密度,\(\nu\) 为摩尔数.
众所周知阿伏伽德罗常数 \(N_A=6.02\times10^{23}\mathrm{mol}^{-1}\),所以 \(M=Nm,\mu=N_Am\).
理想气体宏观为严格满足理想气体状态方程的气体:
\[P
=\frac{\nu RT}V
=\frac{MRT}{V\mu}
=\frac{NmRT}{VN_Am}
=nkT
\]
其中普适气体常量 \(R=8.31\,\mathrm J/(\mathrm K\cdot\mathrm{mol})\),玻尔兹曼常数 \(k=\frac R{N_A}=1.38\times10^{-23}\,\mathrm J/\mathrm K\).
前面的用于宏观,后面的用于微观.
标况下 \(P=1\mathrm{atm}=1.013\times10^5\mathrm{Pa},T=0^\circ\mathrm C=273.15\,\mathrm K\).
微观下理想气体意味着分子体积忽略,之间没有作用力.
事实上作用力是有的,称为范德瓦尔斯力.设平衡时为 \(r_0\),则 \(>8r_0\) 时可以忽略,标况下为 \(3.3\times10^{-9}\,\mathrm m\).
平衡态时,微观上各个分子速度方向各方向几率相等,各处出现概率相等,可得:
\[\overline{\vec v}
=0,
\overline{v_x^2}
=\overline{v_y^2}
=\overline{v_z^2}
=\frac13\overline{v^2}
\]
对各个方向分子在与刚性器壁碰撞时的的冲量改变进行计算,可得:
\[P
=nm\overline{v_x^2}
=\frac13nm\overline{v^2}
\]
即:
\[\sqrt{\overline{v^2}}
=\sqrt{\frac{3kT}m}
=\sqrt{\frac{3RT}\mu}
\]
平均能量
平均平动动能:
\[\overline{\varepsilon_t}
=\frac12m\overline{v^2}
=\frac{3P}{2n}
=\frac32kT
\]
\(1\mathrm{eV}=1.602\times10^{-19}\mathrm J\),所以可以算出标况下 \(\overline{\varepsilon_t}=5.6\times10^{-21}\mathrm J=3.5\times10^{-2}\mathrm{eV}\).
根据曲线论的知识,有三种自由度:平动 \(t\),转动 \(r\),振动 \(\nu\).
三维空间 \(t=3\).低温下转动自由度冻结 \(r=0\),否则单原子 \(r=0\),双原子分子 \(r=1\),多原子分子 \(r=3\).一般温度下刚性分子振动自由度冻结 \(\nu=0\),否则 \(\nu=1\).
平衡态各自由度地位相等,于是:
\[\overline{\varepsilon_K}
=\overline{\varepsilon_t}+\overline{\varepsilon_r}+\overline{\varepsilon_\nu}
=\frac12kT(t+r+\nu)
\]
若做简谐运动则除动能外还有势能 \(\overline{\varepsilon_P}=\overline{\varepsilon_\nu}\),所以:
\[\overline\varepsilon
=\overline{\varepsilon_K}+\overline{\varepsilon_\nu}
=\frac12kT(t+r+2\nu)
=\frac i2kT
\]
分布
速率分布函数:
\[f(v)
=\frac{\mathrm dN_v}{Ndv}
\]
也就是:
\[\int_0^{+\infty}f(v)\,\mathrm dv
=1
\]
麦克斯韦速率分布为理想气体平衡态时(之后会推导):
\[f(v)
=4\pi v^2(\frac m{2\pi kT})^{\frac32}\exp(-\frac{mv^2}{2kT})
\]
于是计算可得极值处最概然速率,平均速率,方均根速率:
\[v_p
=\sqrt\frac{2RT}\mu,
\overline v
=\sqrt\frac{8RT}{\pi\mu},
\overline{v^2}
=\sqrt\frac{3RT}\mu,
\]
定义约化速率 \(u=\frac v{v_p}\),则可以用来估算:
\[f(v)
=\frac4{\sqrt\pi}u^2\exp(-u^2)\frac{\mathrm du}{\mathrm dv}
\]
速度分布函数:
\[f(v)
=\frac{\mathrm dN_{\vec v}}{N\,d\vec v}
\]
麦克斯韦速度分布可以对一个球面考虑:
\[f(\vec v)
=(\frac m{2\pi kT})^{\frac32}\exp(-\frac{mv^2}{2kT})
=c_{\vec v}\exp(-\frac{\varepsilon_k}{kT})
\]
大积一通可得单位时间面积分子碰壁数:
\[\Gamma
=\frac14n\overline v
\]
位置分布函数:
\[f(\vec r)
=\frac{\mathrm dN_{\vec r}}{N\,\mathrm d\vec r}
\]
可以看做:
\[f(\vec r)
=c_{\vec r}\exp(-\frac{\varepsilon_p}{kT})
\]
代入重力势能 \(\frac{\varepsilon_p}{kT}=\frac{\mu gh}{RT}\),于是有恒温气压公式:
\[P
=P_0e^{-\frac{\mu gh}{RT}}
\]
修正
分子会碰撞,所以扩散速率需要计算平均碰撞率和自由程.
设分子有效直径 \(d\).推导主要思想是通过坐标系变换算出考察分子静止系下其他分子速度 \(\overline u\),接着可以算出单位时间被碰次数和自由程:
\[\overline u
=\sqrt2\overline v,
\overline Z
=\pi d^2\overline un
=\sqrt2\pi d^2\overline vn,
\overline\lambda
=\frac{\overline v}{\overline Z}
=\frac1{\sqrt2\pi d^2n}
\]
如果 \(\overline\lambda\) 过大那么主要问题是会碰壁,所以要对容器线度取 \(\min\),此时称为真空.
现在需要真实一点.把分子看成有效直径 \(d\) 的刚性小球即斥力无穷大,并且在作用球半径 \(s\) 内有一定引力,称为范氏气体.
先考虑 \(1\mathrm{mol}\),斥力会导致体积减小一个和分子种类有关的因子 \(b\),引力会导致分子碰壁时受到其他分子的冲量,所以压强会减小一个和 \(n^2\) 成正比的内压强,于是:
\[(P+\frac{\nu^2a}{V^2})(V-\nu b)
=\nu RT
\]
其中 \(a,b\) 为和分子种类有关的常数因子.
宏观过程
能量
内能为分子平均能量和分子间平均势能的总和,任意情况均存在定义.
刚性理想气体内能只有分子平均能量的总和:
\[E
=N\overline\varepsilon
=\frac i2\nu RT
\]
范氏气体内能为:
\[E
=\frac i2\nu RT-\frac{\nu^2a}V
\]
热为传递的能量,功为转换的能量,都是过程量.气体吸热设为 \(Q\),对外做功 \(W\),则热力学第一定律为:
\[Q
=\Delta E+W
\]
微个分:
\[\mathrm dQ
=\mathrm dE+\mathrm dW
\]
一般认为准静态下 \(\mathrm dW=T\mathrm dV\),即 P-V 图上和 V 轴围成的面积.
热容量,摩尔热容量和比热容定义为:
\[C'
=\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dT},
C
=\frac{C'}\nu,
c
=\frac CM
\]
因为 \(Q\) 为过程量所以 \(C'\) 也是过程量.可以定义定压热容量 \(C'_p\) 和定容热容量 \(C'_V\).
理想气体准静态过程中,等容时并不做功:
\[C_V
=\frac{C'_V}\nu
=\frac{\mathrm dQ}{\nu\,\mathrm dT}
=\frac{\mathrm dE}{\nu\,\mathrm dT}
=\frac i2R
\]
等压时利用理想气体状态方程:
\[C_P
=\frac{C'_P}\nu
=\frac{\mathrm dE}{\nu\,\mathrm dT}+\frac{P\mathrm dV}{\nu\mathrm dT}
=C_V+R
=(\frac i2+1)R
\]
很伟大啊,称为迈耶公式.
准静态绝热过程中,一通计算后可得三个东西为常数:
\[PV^\gamma,TV^{\gamma-1},P^{\gamma-1}T^{-\gamma}
\]
其中:
\[\gamma
=1+\frac R{C_V}
=\frac{i+2}i
\]
理想气体绝热自由膨胀不做功,内能也不变.
熵
热力学第二定律为,一切与热现象有关的自然宏观过程都是不可逆的.然后所有自然宏观过程的不可逆性相互等价,所以只要列出一个即可.
是宏观统计规律的规律,所以微观上涨落了就可以不符合.
热力学几率或者微观状态数目 \(\Omega\) 为一个宏观状态对应的微观状态数目,状态包括位置和速度,假设各状态可能性相同即平权.
热力学几率越大,宏观状态越无序,熵即描述无序度的量.所以玻耳兹曼熵被定义为:
\[S
=k\ln\Omega
\]
\(k\) 就是玻耳兹曼常数.热力学第二定律本质为孤立系统 \(\Delta S\ge0\).
比如体积变化后:
\[\Delta S
=kN\ln\frac{V_2}{V_1}
=\nu R\ln\frac{V_2}{V_1}
\]
考虑把能量分为若干离散能级 \(E_i\),于是可以把共 \(N\) 个粒子往其中分 \(n_i\) 个,方案数是个多重组合数:
\[S
=k\ln\Omega
=k\ln\frac{N!}{\prod\limits_in_i!}
\]
平衡态时熵极大,这是个受到总粒子量和总能量约束的条件极值问题:
\[N
=\sum\limits_in_i,
E
=\sum\limits_in_iE_i
\]
根据斯特林公式估算后使用拉格朗日乘子法,即可得到:
\[n_i
=N\frac{e^{-\beta E_i}}{\sum\limits_ie^{-\beta E_i}}
\]
这就是平衡态的分布.
因为可逆过程中(下面会讲):
\[\frac1T
=\frac{\mathrm dS}{\mathrm dE}
\]
所以一通推导可得:
\[\beta
=\frac1{kT}
\]
热机
热机输入热量 \(Q_1\),输出功 \(W\) 和废热 \(Q_2\),所以 \(Q_1=W+Q_2\).
制冷机输入热量 \(Q_2\) 和 \(W\),输出废热 \(Q_1\),也是 \(Q_1=W+Q_2\).
持续运行需要工质循环:P-V 图上顺时针转为正循环,是热机;逆时针转为逆循环,是制冷机.
热机效率和制冷系数定义为:
\[\eta
=\frac W{Q_1}
=1-\frac{Q_2}{Q_1},
w
=\frac{Q_2}W
=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}
\]
考虑和高温热库 \(T_1\) 和低温热库 \(T_2\) 做交换的情况,称为卡诺热机循环,大概流程是:
- \((V_1,P_1,T_1)\to(V_2,P_2,T_1)\):从高温热库获得热量 \(Q_1\),对外做功 \(W_1\),恒温膨胀
- \((V_2,P_2,T_1)\to(V_3,P_3,T_2)\):绝热膨胀
- \((V_3,P_3,T_2)\to(V_4,P_4,T_2)\):向低温热库输出热量 \(Q_2\),被做功 \(W_2\),恒温压缩
- \((V_4,P_4,T_2)\to(V_1,P_1,T_1)\):绝热压缩
工质为理想气体时,等温即内能不变,所以小积个分就有:
\[Q_1
=W_1
=vRT\ln\frac{V_2}{V_1},
Q_2
=W_2
=vRT\ln\frac{V_3}{V_4}
\]
根据绝热过程不变量可得:
\[\frac{V_2}{V_1}
=\frac{V_3}{V_4}
\]
所以:
\[\frac{Q_2}{Q_1}
=\frac{T_2}{T_1}
\]
继而卡诺热机循环效率:
\[\eta_c
=1-\frac{T_2}{T_1}
\]
汽油机更接近真实过程:
- \((V_2,P_a,T_a)\to(V_1,P_b,T_b)\):绝热压缩
- \((V_1,P_b,T_b)\to(V_1,P_c,T_c)\):等容瞬间爆炸,获得热量 \(Q_1\)
- \((V_1,P_c,T_c)\to(V_2,P_d,T_d)\):绝热膨胀
- \((V_2,P_d,T_d)\to(V_2,P_a,T_a)\):等容排气换气,排出热量 \(Q_2\)
\[Q_1
=\nu C_V(T_c-T_b),
Q_2
=\nu C_V(T_d-T_a),
\]
根据绝热过程不变量可得:
\[\eta
=1-\frac{Q_2}{Q_1}
=1-\frac{T_d-T_a}{T_c-T_b}
=1-(\frac{V_2}{V_1})^{\gamma-1}
\]
任意热机 A 的效率不大于任意在相同的热库之间工作的可逆热机 B 的效率.
否则把 A 和 B 的逆热机也就是制冷机 C 接在一起,把 A 做的功供 C 用,你就得到了第二类永动机.
因为可逆,所以接在一起即可得到,在相同的热库之间任意两个可逆热机效率相等,这叫卡诺定理.
如果工质是理想气体,那么和上面说的完全一样.
把可逆过程用若干卡诺循环拟合,即可得到:
\[\oint\frac{\mathrm dQ}T
=0
\]
所以绝热可逆过程等熵.环路积分为 \(0\) 不定义势可惜了,于是定义两个平衡态间的克劳修斯熵差:
\[\Delta S
=\int\frac{\mathrm dQ}T
\]
此时:
\[\mathrm dQ
=T\mathrm dS
\]
要求准静态,非准静态时:
\[\Delta S
\ge\int\frac{\mathrm dQ}T
\]
T-S 图上曲线表示可逆过程,和 S 轴围成的面积为吸的热,可逆卡诺循环为一个长方形.
对于理想气体可逆过程,只需一积即可:
\[\Delta S
=\nu(C_v\ln\frac{T_1}{T_0}+R\ln\frac{V_1}{V_0})
\]
温标
定义两个系统热接触足够长时间后达到的平衡态为热平衡态.
热力学第零定律是,两个状态处于热平衡态这个关系,是等价关系.
温标将所有等价类和非负实数建立双射.
水的三相点 \(T_3=273.16\mathrm K\) 不变,所以可以对理想气体定义温标:
\[T
=T_3\frac{PV}{P_3V_3}
\]
在卡诺定理里我们终于获得了和工质无关只和温度有关的式子,于是可以将其推广为热力学温标,即可逆热机效率相同的热源温度相同.
生活中摄氏温标为:
\[t
=(T-273.15)^\circ\mathrm C
\]
大洋彼岸华氏温标为:
\[t
=(32+\frac 95t)^\circ\mathrm F
\]
输运过程
扩散,\(\mathrm dM\) 为传递质量,\(\mathrm dS\) 为面积元,\(\mathrm dt\) 为时间微元,\(\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dx}\) 为浓度梯度,\(D\) 为扩散系数:
\[\mathrm dM
=-D\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm dx}\mathrm dS\,\mathrm dt,
D
=\frac13\overline v\overline\lambda
\]
内摩擦,\(\mathrm dp\) 为内摩擦力动量,\(\mathrm dS\) 为面积元,\(\mathrm dt\) 为时间微元,\(\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\) 为流速梯度,\(\eta\) 为内摩擦系数(粘度):
\[\mathrm dp
=\eta\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\mathrm dS\mathrm dt,
\eta
=\frac13\overline v\overline\lambda nm
\]
热传导,\(\mathrm df\) 为传递热量,\(\mathrm dS\) 为面积元,\(\mathrm dt\) 为时间微元,\(\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}\) 为温度梯度,\(\kappa\) 为导(传)热系数:
\[\mathrm dQ
=-\kappa\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}\mathrm dS\,\mathrm dt,
\kappa
=\frac13\overline v\overline\lambda nmC_V
\]
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