学习笔记—— RAIM不具备垂直导航能力的数学本质

一、基础定位解算

1.1 线性化观测方程

伪距观测线性化模型：

\[\mathbf{y} = \mathbf{G}\mathbf{x} + \boldsymbol{\epsilon} \]

其中：

• \(\mathbf{y}\)：\(n \times 1\) 伪距残差向量（\(n\)为卫星数）
• \(\mathbf{x}\)：\(4 \times 1\) 待估参数向量（三维位置+接收机钟差）
• \(\mathbf{G}\)：\(n \times 4\) 观测矩阵，第\(k\)行为：
  \[\mathbf{g}_k^T = [-\cos(el_k)\sin(az_k), -\cos(el_k)\cos(az_k), -\sin(el_k), 1] \]

• \(\boldsymbol{\epsilon}\)：\(n \times 1\) 测量噪声，\(\boldsymbol{\epsilon} \sim N(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I})\)

1.2 最小二乘解

加权最小二乘解（为简化，假设等权）：

\[\hat{\mathbf{x}} = (\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T\mathbf{y} \]

伪距预测值：

\[\hat{\mathbf{y}} = \mathbf{G}\hat{\mathbf{x}} = \mathbf{G}(\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T\mathbf{y} \]

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二、帽子矩阵及其性质

2.1 定义

帽子矩阵 \(\mathbf{H}\) 定义为：

\[\mathbf{H} = \mathbf{G}(\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T \]

\(\mathbf{H}\) 是 \(n \times n\) 对称矩阵，它将观测向量 \(\mathbf{y}\) 投影到 \(\mathbf{G}\) 的列空间（即位置能够解释的部分）。

2.2 基本性质

1. 对称性：\(\mathbf{H}^T = \mathbf{H}\)
2. 幂等性：\(\mathbf{H}^2 = \mathbf{H}\)
3. 迹：\(\text{tr}(\mathbf{H}) = 4\)（等于待估参数个数）
4. 投影分解：\(\mathbf{I} = \mathbf{H} + (\mathbf{I} - \mathbf{H})\)，其中 \(\mathbf{I} - \mathbf{H}\) 投影到左零空间

2.3 元素意义

对角元素 \(h_{kk}\)：

\[h_{kk} = \mathbf{g}_k^T (\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1} \mathbf{g}_k \]

• \(h_{kk}\) 称为杠杆值，度量第\(k\)颗卫星在定位解中的影响力
• \(0 < h_{kk} < 1\)，且 \(\sum_{k=1}^n h_{kk} = 4\)
• \(h_{kk}\) 大 → 卫星对定位贡献大，信息独特
• \(h_{kk}\) 小 → 卫星冗余，可被其他卫星替代

非对角元素 \(h_{kj}\)：

• 度量卫星\(j\)对卫星\(k\)的预测值的贡献
• 反映两颗卫星的几何相关性

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三、残差与奇偶空间

3.1 残差向量

残差定义为观测值与预测值之差：

\[\mathbf{w} = \mathbf{y} - \hat{\mathbf{y}} = (\mathbf{I} - \mathbf{H})\mathbf{y} \]

代入 \(\mathbf{y} = \mathbf{G}\mathbf{x} + \boldsymbol{\epsilon}\)：

\[\mathbf{w} = (\mathbf{I} - \mathbf{H})\mathbf{G}\mathbf{x} + (\mathbf{I} - \mathbf{H})\boldsymbol{\epsilon} = (\mathbf{I} - \mathbf{H})\boldsymbol{\epsilon} \]

关键结论：残差中完全不含位置信息\(\mathbf{x}\)，仅含噪声的投影。

3.2 奇偶空间与特征矢量

存在 \(n \times (n-4)\) 矩阵 \(\mathbf{Q}_p\)，满足：

\[\mathbf{Q}_p^T \mathbf{G} = \mathbf{0}, \quad \mathbf{Q}_p^T \mathbf{Q}_p = \mathbf{I}_{n-4} \]

\(\mathbf{Q}_p\) 的列张成 \(\mathbf{G}\) 的左零空间，称为奇偶空间。

奇偶矢量：

\[\mathbf{p} = \mathbf{Q}_p^T \mathbf{y} = \mathbf{Q}_p^T \boldsymbol{\epsilon} \]

卫星\(k\)的特征矢量：

\[\mathbf{f}_k = \mathbf{Q}_p^T \mathbf{e}_k \]

其中 \(\mathbf{e}_k\) 是第\(k\)个标准基向量。

3.3 核心关系

可以证明：

\[\|\mathbf{f}_k\|^2 = 1 - h_{kk} \]

且：

\[\|\mathbf{p}\|^2 = \mathbf{w}^T\mathbf{w} = \sum_{k=1}^n \epsilon_k^2 (1 - h_{kk}) + \text{交叉项} \]

物理意义：

• \(\|\mathbf{f}_k\|\) 度量卫星\(k\)的误差能在多大程度上被RAIM"看到"
• \(\|\mathbf{f}_k\|\) 大 → 易检测
• \(\|\mathbf{f}_k\|\) 小 → 难检测

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四、误差传播分析

4.1 卫星误差对定位的影响

若第\(k\)颗卫星有偏差\(b\)，观测方程为：

\[\mathbf{y} = \mathbf{G}\mathbf{x} + \boldsymbol{\epsilon} + \mathbf{e}_k b \]

定位解的变化：

\[\delta \hat{\mathbf{x}} = (\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T \mathbf{e}_k b \]

垂直方向误差分量：

\[\delta U_k = [(\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T \mathbf{e}_k]_3 \cdot b \]

4.2 近似关系

对于典型几何，有近似：

\[[(\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T \mathbf{e}_k]_3 \approx \frac{\sin(el_k)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n \sin^2(el_i)}} \]

物理意义：卫星\(k\)的误差在垂直方向造成的危害，与其\(\sin(el_k)\)成正比，与垂直方向总能量的平方根成反比。

4.3 检测统计量

卫星\(k\)的偏差\(b\)产生的奇偶矢量模长：

\[\|\mathbf{p}\| = \|\mathbf{f}_k\| \cdot b = \sqrt{1 - h_{kk}} \cdot b \]

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五、关键比值：危害/可见比

定义危害/可见比：

\[R_k = \frac{\delta U_k}{\|\mathbf{p}\|} = \frac{[(\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T \mathbf{e}_k]_3}{\sqrt{1 - h_{kk}}} \]

这个比值衡量：每1米可检测的残差，对应多少米的实际垂直危害。

5.1 \(R_k\) 的近似表达式

利用近似关系：

\[R_k \approx \frac{\sin(el_k) / \sqrt{\sum \sin^2(el_i)}}{\sqrt{1 - h_{kk}}} \]

又由 \(h_{kk} \approx \frac{\sin^2(el_k)}{\sum \sin^2(el_i)} + \text{水平项}\)，可得：

对于高仰角卫星（\(\sin(el_k)\)大，\(\sum \sin^2\)小）：

• 分子大，分母小 → \(R_k\) 大

对于低仰角卫星（\(\sin(el_k)\)小，\(\sum \sin^2\)大）：

• 分子小，分母大 → \(R_k\) 小

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六、典型几何下的数值分析

6.1 GPS典型几何

设\(n=10\)颗卫星：

• 8颗低仰角（\(el=10^\circ\)，\(\sin=0.174\)，\(\sin^2=0.030\)）
• 2颗高仰角（\(el=80^\circ\)，\(\sin=0.985\)，\(\sin^2=0.970\)）

垂直方向总能量：

\[S_v = \sum \sin^2(el_i) = 8 \times 0.030 + 2 \times 0.970 = 0.24 + 1.94 = 2.18 \]

高仰角卫星贡献占比：\(1.94/2.18 = 89\%\)

6.2 杠杆值计算

高仰角卫星：

\[h_{kk} \approx \frac{\sin^2(el_k)}{S_v} + \text{水平项} \approx \frac{0.97}{2.18} + 0.3 \approx 0.44 + 0.3 = 0.74 \]

低仰角卫星：

\[h_{kk} \approx \frac{\sin^2(el_k)}{S_v} + \text{水平项} \approx \frac{0.03}{2.18} + 0.3 \approx 0.014 + 0.3 = 0.314 \]

6.3 特征模长

高仰角卫星：

\[\|\mathbf{f}_k\| = \sqrt{1 - 0.74} = \sqrt{0.26} \approx 0.51 \]

低仰角卫星：

\[\|\mathbf{f}_k\| = \sqrt{1 - 0.314} = \sqrt{0.686} \approx 0.83 \]

6.4 危害/可见比

高仰角卫星（设垂直投影系数≈0.98）：

\[R \approx \frac{0.98}{0.51} \approx 1.92 \]

低仰角卫星（设垂直投影系数≈0.17）：

\[R \approx \frac{0.17}{0.83} \approx 0.20 \]

6.5 结果解读

卫星类型	\(h_{kk}\)	\(|\mathbf{f}_k|\)	垂直危害系数	危害/可见比
高仰角	0.74	0.51	0.98	1.92
低仰角	0.31	0.83	0.17	0.20

关键结论：

• 高仰角卫星的危害/可见比是低仰角卫星的 9.6倍
• 意味着：要检测出同样的垂直危害（比如10米）：
  • 高仰角卫星只需在残差中露出 \(10/1.92 \approx 5.2\) 米
  • 低仰角卫星需要露出 \(10/0.20 \approx 50\) 米
• 但低仰角卫星根本产生不了50米的垂直危害（最大约1.7米）

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七、垂直方向脆弱性的数学表述

7.1 垂直保护水平

垂直保护水平VPL是满足下式的最小值：

\[P\{|\delta U| > \text{VPL}\} = P_{\text{HMI}} \]

可近似表达为：

\[\text{VPL} = \max_k \left( \frac{T_d}{\|\mathbf{f}_k\|} \cdot [(\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T \mathbf{e}_k]_3 \right) + K_{\text{md}} \cdot \sigma_U \]

其中 \(T_d\) 是检测门限，\(\sigma_U\) 是垂直方向标准差。

7.2 关键不等式

由危害/可见比定义：

\[[(\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T \mathbf{e}_k]_3 = R_k \cdot \|\mathbf{f}_k\| \]

代入VPL表达式：

\[\text{VPL} = \max_k \left( T_d \cdot R_k \right) + K_{\text{md}} \cdot \sigma_U \]

垂直保护水平由最大的\(R_k\)决定！

7.3 为什么VPL远大于HPL

对于水平方向，定义类似比值：

\[R_k^H = \frac{\sqrt{[(\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T \mathbf{e}_k]_1^2 + [(\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T \mathbf{e}_k]_2^2}}{\|\mathbf{f}_k\|} \]

在典型几何中：

• 最大\(R_k\)（垂直）≈ 1.92
• 最大\(R_k^H\)（水平）≈ 0.8-1.0

且 \(\sigma_U > \sigma_H\)（VDOP > HDOP）

因此：

\[\text{VPL} > \text{HPL} \quad \text{通常VPL/HPL ≈ 1.5-2.5} \]

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概括：

1. 几何不对称性：所有卫星在地平线以上，导致垂直方向信息总量 \(S_v = \sum \sin^2(el_i)\) 远小于水平方向信息总量 \(S_h = \sum \cos^2(el_i)\)

2. 信息集中性：垂直信息集中在少数高仰角卫星，使这些卫星的杠杆值 \(h_{kk}\) 大，特征模长 \(\|\mathbf{f}_k\| = \sqrt{1-h_{kk}}\) 小

3. 检测与危害的背离：高仰角卫星的误差在垂直方向造成大危害（\(p_{Uk}\) 大），但可检测性低（\(\|\mathbf{f}_k\|\) 小），导致危害/可见比 \(R_k = p_{Uk}/\|\mathbf{f}_k\|\) 极大

4. 保护水平的决定性：垂直保护水平 \(\text{VPL} = \max_k (T_d R_k) + K_{\text{md}}\sigma_U\) 由最大的 \(R_k\) 决定，因此在典型几何下必然远大于水平保护水平

5. 最终结果：VPL 经常超过垂直告警限 HAL，导致RAIM在垂直方向不可用

逻辑链

1. 几何起点：卫星轨道设计决定了几何分布——高仰角卫星数量少，低仰角卫星数量多

2. 能量分布：

   • 垂直方向总能量 \(S_v = \sum \sin^2(el_i)\) 小（因为高仰角卫星少）
   • 水平方向总能量 \(S_h = \sum \cos^2(el_i)\) 大（因为低仰角卫星多）

3. 法方程矩阵：\((\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\) 中对应对角元素与总能量成反比

   • 垂直方向对应元素 ≈ \(1/S_v\) 大
   • 水平方向对应元素 ≈ \(1/S_h\) 小

4. 杠杆值：

   • 高仰角卫星：\(h_{kk} \approx \sin^2(el_k)/S_v + \text{水平项}\) 大
   • 低仰角卫星：\(h_{kk}\) 小

5. 特征模长：\(\|\mathbf{f}_k\| = \sqrt{1-h_{kk}}\)

   • 高仰角卫星：小（难检测）
   • 低仰角卫星：大（易检测）

6. 误差传播：

   • 高仰角卫星垂直投影 ≈ \(\sin(el_k)\) 大（危害大）
   • 低仰角卫星垂直投影 ≈ \(\sin(el_k)\) 小（危害小）

7. 危害/可见比：\(R_k = \text{垂直投影} / \|\mathbf{f}_k\|\)

   • 高仰角卫星：极大（每米可见对应大危害）
   • 低仰角卫星：极小（每米可见对应小危害）

8. 保护水平：

   • 垂直保护水平 \(\text{VPL} = \max_k(T_d R_k) + K_{\text{md}}\sigma_U\) 由最大\(R_k\)决定 → 数值大
   • 水平保护水平 \(\text{HPL} = \max_k(T_d R_k^H) + K_{\text{md}}\sigma_H\) 由较小\(R_k^H\)决定 → 数值小

9. 可用性判断：

   • VPL > HAL 经常发生 → 垂直方向不可用
   • HPL < HAL 通常满足 → 水平方向可用

10. 最终结论：RAIM不具备垂直导航能力
    要改善垂直方向的完好性性能，必须改变几何结构——多星座、多频率的ARAIM技术路线。