学习笔记——RAIM的垂直能力为什么弱？

因为G矩阵的垂直列的范数小（所有卫星都在上方），导致：

• 垂直方向在列空间中能量弱

• 影响垂直的误差模式难以在奇偶空间中产生大的响应

• 同样的故障偏差，在垂直方向造成的误差更难被检测

• 结果是垂直保护水平（VPL）远大于水平保护水平（HPL）

1.1 G矩阵的垂直列特性

回到真实的 \(\mathbf{G}\) 矩阵（n×4）：

\[\mathbf{G} = [\mathbf{g}_E, \mathbf{g}_N, \mathbf{g}_U, \mathbf{1}] \]

第3列 \(\mathbf{g}_U\) 对应垂直方向：

\[\mathbf{g}_U = [-\sin(el_1), -\sin(el_2), ..., -\sin(el_n)]^T \]

第1列 \(\mathbf{g}_E\)（东向）：

\[\mathbf{g}_E = [-\cos(el_1)\sin(az_1), -\cos(el_2)\sin(az_2), ..., -\cos(el_n)\sin(az_n)]^T \]

第2列 \(\mathbf{g}_N\)（北向）：

\[\mathbf{g}_N = [-\cos(el_1)\cos(az_1), -\cos(el_2)\cos(az_2), ..., -\cos(el_n)\cos(az_n)]^T \]

1.2 垂直列的特点

低仰角卫星（el ≈ 5°）：

• \(\sin(el) \approx 0.087\)
• \(\cos(el) \approx 0.996\)

高仰角卫星（el ≈ 90°）：

• \(\sin(el) \approx 1.0\)
• \(\cos(el) \approx 0.0\)

关键观察：

• \(\|\mathbf{g}_U\|^2 = \sum_{i=1}^n \sin^2(el_i)\)
• 低仰角卫星对 \(\|\mathbf{g}_U\|\) 贡献极小（0.087² ≈ 0.0076）
• 高仰角卫星贡献大（1.0² = 1.0）

1.3 垂直方向在列空间中的“弱势地位”

为了理解垂直方向的投影特性，我们需要看法方程矩阵：

\[\mathbf{N} = \mathbf{G}^T\mathbf{G} = \begin{bmatrix} \mathbf{g}_E^T\mathbf{g}_E & \mathbf{g}_E^T\mathbf{g}_N & \mathbf{g}_E^T\mathbf{g}_U & \mathbf{g}_E^T\mathbf{1} \\ \mathbf{g}_N^T\mathbf{g}_E & \mathbf{g}_N^T\mathbf{g}_N & \mathbf{g}_N^T\mathbf{g}_U & \mathbf{g}_N^T\mathbf{1} \\ \mathbf{g}_U^T\mathbf{g}_E & \mathbf{g}_U^T\mathbf{g}_N & \mathbf{g}_U^T\mathbf{g}_U & \mathbf{g}_U^T\mathbf{1} \\ \mathbf{1}^T\mathbf{g}_E & \mathbf{1}^T\mathbf{g}_N & \mathbf{1}^T\mathbf{g}_U & n \end{bmatrix} \]

对角元素：

• \(N_{11} = \sum \cos^2(el_i)\sin^2(az_i)\) ≈ 约 n/2（平均分布）
• \(N_{22} = \sum \cos^2(el_i)\cos^2(az_i)\) ≈ 约 n/2
• \(N_{33} = \sum \sin^2(el_i)\) ≈ 远小于 n（因为大多数卫星仰角不高）
• \(N_{44} = n\)

\(N_{33}\) 很小意味着：垂直方向的“能量”在测量空间中很弱。

1.4 对误差投影的影响

误差向量 \(\boldsymbol{\epsilon}\) 在垂直方向的投影能力取决于它和 \(\mathbf{g}_U\) 的对齐程度。

考虑一个垂直方向的偏差模式：\(\boldsymbol{\epsilon} = \mathbf{g}_U\)（所有误差与垂直方向完全相关）

计算这个误差向量的投影：

\[\mathbf{H}\mathbf{g}_U = \mathbf{G}(\mathbf{G}^T\mathbf{G})^{-1}\mathbf{G}^T\mathbf{g}_U \]

由于 \(\mathbf{g}_U\) 本身就是 \(\mathbf{G}\) 的一列：

\[\mathbf{G}^T\mathbf{g}_U = [N_{13}, N_{23}, N_{33}, N_{43}]^T \]

更重要的是：\(\mathbf{g}_U\) 可以被 \(\mathbf{G}\) 的其他列部分表示。这意味着一个纯粹的垂直误差，会被分解到水平方向！

1.5 一个数值例子（n=8颗卫星）

假设典型几何：

• 6颗低仰角卫星（el=10°，sin=0.1736，cos=0.9848）
• 2颗高仰角卫星（el=70°，sin=0.9397，cos=0.3420）

计算 \(\mathbf{g}_U\) 的范数：

\[\|\mathbf{g}_U\|^2 = 6 \times (0.1736)^2 + 2 \times (0.9397)^2 \]

\[= 6 \times 0.0301 + 2 \times 0.8830 \]

\[= 0.1806 + 1.7660 = 1.9466 \]

而 \(\|\mathbf{g}_E\|^2 \approx \sum \cos^2(el) \approx 6 \times 0.9698 + 2 \times 0.1170 = 5.8188 + 0.2340 = 6.0528\)

垂直方向的“能量”只有水平的 1/3！

1.6 对故障检测的致命影响

现在，假设有一颗低仰角卫星（el=10°）有10米故障偏差。

在垂直方向的投影：

\[\text{垂直分量} = b \times \sin(el) = 10 \times 0.1736 = 1.736 \text{米} \]

在水平方向的投影：

\[\text{水平分量} = b \times \cos(el) = 10 \times 0.9848 = 9.848 \text{米} \]

这个故障偏差在奇偶空间中的表现：

奇偶矢量 \(\mathbf{p}\) 由误差通过 \(\mathbf{Q}_p^T\) 投影得到：

\[\mathbf{p} = \mathbf{Q}_p^T \boldsymbol{\epsilon} \]

\(\boldsymbol{\epsilon}\) 是故障偏差向量（只在故障卫星位置有值）。\(\mathbf{p}\) 的模长：

\[\|\mathbf{p}\| = |b| \cdot \|\mathbf{Q}_p^T \mathbf{e}_k\| = |b| \cdot \|\mathbf{f}_k\| \]

其中 \(\mathbf{f}_k\) 是卫星k的特征矢量。

关键：\(\|\mathbf{f}_k\|\) 与卫星k的几何分布有关。对于低仰角卫星，\(\|\mathbf{f}_k\|\) 通常较小，因为它的信息大部分被用于估计位置（尤其是水平位置）。