学习笔记——RAIM主要算法

RAIM（receiver autonomous integrity monitoring）接收机自主完备性监测是指用户接收机利用当前时刻的冗余观测信息，对参与定位解的卫星测量值进行一致性检验，从而自主判断是否存在故障卫星，并将其隔离的能力。其物理本质是空间几何冗余。在仅需4颗卫星即可实现三维定位加钟差解算的前提下，若可见卫星数 \( n > 4 \)，则形成了 \( f = n - 4 \) 的自由度。RAIM利用这 \( f \) 个冗余自由度构建统计检验量，检测偏差较大的测量值。

1 最小二乘残差法（LSR）

1. 观测模型与最小二乘解
线性化的伪距观测方程为：

\( \boldsymbol{y} = \boldsymbol{Gx} + \boldsymbol{\epsilon} \)

其中 $\boldsymbol{y} $ 为 \(n\times 1\)伪距偏差向量，$ \boldsymbol{G} $ 为 $ n \times 4 $ 观测矩阵（包含用户至卫星的方向余弦和钟差列），$ \boldsymbol{x} $ 为 $ 4 \times 1 $ 待估参数（位置改正数+接收机钟差），$ \boldsymbol{\epsilon} $ 为测量噪声，服从 $N(0, \sigma^2) $。

加权最小二乘解为：
\( \hat{\boldsymbol{x}} = (\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{W}\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{W}\boldsymbol{y} \)
伪距估计值：
\( \hat{\boldsymbol{y}} = \boldsymbol{G}\hat{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{G}(\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{W}\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{W}\boldsymbol{y} = \boldsymbol{Sy} \)
其中 $ \boldsymbol{S} $称为帽子矩阵。

2. 残差向量
定义残差为观测值与估计值之差：
\( \boldsymbol{w} = \boldsymbol{y} - \hat{\boldsymbol{y}} = (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{S})\boldsymbol{y} = (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{S})(\boldsymbol{Gx} + \boldsymbol{\epsilon}) = (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{S})\boldsymbol{\epsilon} \)

关键结论：残差向量 $ \boldsymbol{w} $ 仅包含测量噪声$ \boldsymbol{\epsilon} $ 通过投影矩阵 \(\boldsymbol{I}\) - \(\boldsymbol{S}\)的映射，完全消除了位置与钟差参数$ \boldsymbol{x}$。

3. 检验统计量构造
在无故障假设下，残差平方和（SSE）服从卡方分布：
\( SSE = \boldsymbol{w}^T\boldsymbol{W}\boldsymbol{w} \sim \chi^2(n-4) \)

定义检验统计量：
\( T = \sqrt{\frac{SSE}{n-4}} \)

4. 检测门限
给定单次试验误警率 \( P_{fa} \)，通过卡方分布逆累积分布函数计算门限 \( T_d \)：
\( T_d = \sigma \cdot \sqrt{\frac{\chi^2_{1-P_{fa}}(n-4)}{n-4}} \)

决策逻辑：

• 若 $ T \le T_d $：接受无故障假设。
• 若 $ T > T_d $：检测到故障。

5. 故障识别
检测到故障后，需识别故障星。常用方法为最大标准化残差法：
\( i_{max} = \arg\max_i \frac{|w_i|}{\sigma \sqrt{(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{S})_{ii}}} \)
剔除该星后重新解算，迭代直至无故障。

6. 保护水平计算
水平保护水平（HPL）是满足下式的最小 \( HPL \)：
\( P\{|HPE| > HPL\} = P_{HMI} \)
对于最小二乘残差法，通常采用近似公式：
\( HPL = \delta_{HMAX} + \kappa(P_{fa}, P_{md}) \cdot \sigma_{H} \)
其中 $ \delta_{HMAX} $ 是最大可检测偏差在位置域的投影，$ \sigma_{H}$ 为水平位置标准差，$ \kappa $ 为非中心化参数，$ P_{md} $ 为漏检率。

---

2 奇偶空间矢量法

奇偶空间矢量法是最小二乘残差法的正交变换版本，计算效率更高，且物理几何意义更直观。

1. 奇偶空间
将观测方程中的矩阵 $ \boldsymbol{G} $ 进行QR分解或直接寻找其零空间。存在一个 $ n \times (n-4) $ 的矩阵 $ \boldsymbol{Q}_p $，满足：

\( \boldsymbol{Q}_p^T \boldsymbol{G} = \boldsymbol{0} \)
该矩阵的列向量张成 $ \boldsymbol{G} $ 的左零空间，即奇偶空间。

2. 奇偶矢量
对观测向量施加奇偶变换：
\( \boldsymbol{p} = \boldsymbol{Q}_p^T \boldsymbol{y} = \boldsymbol{Q}_p^T (\boldsymbol{Gx} + \boldsymbol{\epsilon}) = \boldsymbol{Q}_p^T \boldsymbol{\epsilon} \)
奇偶矢量 $ \boldsymbol{p} $ 是 $ (n-4) \times 1 $ 的向量，同样不含位置信息，仅含噪声和故障。

3. 与最小二乘残差的等价性
可以证明，最小二乘残差向量的模与奇偶矢量的模完全相等：
\( SSE = \boldsymbol{w}^T\boldsymbol{W}\boldsymbol{w} = \boldsymbol{p}^T\boldsymbol{p} \)
因此，基于卡方检验的检测门限与最小二乘法完全一致。

4. 故障识别的优势
奇偶空间矢量法的核心优势在于故障识别。定义奇偶矢量 $ \boldsymbol{p} $ 与各卫星特征矢量 $ \boldsymbol{f}_i = \boldsymbol{Q}_p^T \boldsymbol{e}_i $ 之间的夹角。当第 $ i $ 颗卫星存在故障偏差 $ b_i $ 时：
\( \boldsymbol{p} = \boldsymbol{f}_i \cdot b_i + \boldsymbol{\epsilon}' \)
此时 $ \boldsymbol{p} $ 的指向与 $ \boldsymbol{f}_i $ 一致。

识别方法：计算归一化奇偶矢量与各卫星特征矢量的点积，取最大值对应的卫星为故障星。
\( i^* = \arg\max_i \frac{|\boldsymbol{p}^T \boldsymbol{f}_i|}{\|\boldsymbol{f}_i\|} \)

5. 优缺点对比

特性	最小二乘残差法（LSR）	奇偶空间矢量法
计算量	需矩阵求逆，\( O(n^3) \)	QR分解，数值稳定，适合实时
故障识别	迭代剔除，识别单星有效，多星困难	基于角度识别，可构建二维奇偶图
多故障处理	效率低	理论上可识别双故障（三维奇偶空间需 \( n \ge 6 \)）

---

3 其他常用算法

在实际接收机中，除上述两种基础框架外，还应用了多种衍生算法。

1. 距离比较法
这是最原始的RAIM算法。利用任意4颗卫星计算一个位置解，利用另一组4颗卫星计算另一个解。若两组解在位置域偏差过大，则判断存在故障。缺点：组合爆炸，且效率极低，现已淘汰。（这里的说法并不认同，现代算力是可以实现的，而且这个方法有其独特优势，后面会专门讲到）

2. 加权RAIM（WRAIM）
标准RAIM假设各卫星噪声方差相同。实际中，低仰角卫星噪声大。加权RAIM通过引入权重矩阵 \( \boldsymbol{W} \)（通常基于仰角或信噪比模型），使算法更鲁棒。

3. 快照法与滤波法

• 快照法：仅利用当前历元的观测值进行检测（上述1/2均为快照法）。优点是无时间累积误差，故障响应快；缺点是灵敏度受限于当前几何。
• 滤波法：基于卡尔曼滤波的新息序列进行卡方检验。能检测缓变故障，但易受动力学模型误差影响。

4. 基于机器学习的方法
近年研究利用神经网络分类器对奇偶矢量进行分类，直接输出故障卫星编号。在高维空间（多星座多频率）下，相比传统几何方法具有更强的非线性映射能力，但在民航适航认证方面尚处于探索阶段。

---

思考题

1. 为什么RAIM算法必须要求可见卫星数 n≥5 才能检测，n≥6 才能识别？请从奇偶空间维度的角度解释。
2. 假设某历元有8颗可见卫星，最小二乘残差法计算出的SSE为0.35米²，噪声标准差 σ=1 米，误警率设为0.1%。请问此时是否存在故障？（提示：查询卡方分布表，自由度为4）