近年各省省选

六省联考 \(2017\)

D1T1 期末考试

题意：

有 \(n\) 位同学，每位同学都参加了全部的 \(m\) 门课程的期末考试，都在焦急的等待成绩的公布。

第 \(i\) 位同学希望在第 \(t_i\) 天或之前得知所有课程的成绩。如果在第 \(t_i\) 天，有至少一门课程的成绩没有公布，他就会等待最后公布成绩的课程公布成绩，每等待一天就会产生 \(C\) 不愉快度。

对于第 \(i\) 门课程，按照原本的计划，会在第 \(b_i\) 天公布成绩。

有如下两种操作可以调整公布成绩的时间:

1. 将负责课程 \(X\) 的部分老师调整到课程 \(Y\)，调整之后公布课程 \(X\) 成绩的时间推迟一天，公布课程 \(Y\) 成绩的时间提前一天；每次操作产生 \(A\) 不愉快度。
2. 增加一部分老师负责学科 \(Z\)，这将导致学科 \(Z\) 的出成绩时间提前一天；每次操作产生 \(B\) 不愉快度。

上面两种操作中的参数 \(X, Y, Z\) 均可任意指定，每种操作均可以执行多次，每次执行时都可以重新指定参数。

现在希望你通过合理的操作，使得最后总的不愉快度之和最小，输出最小的不愉快度之和即可。

\(1 \leq n, m, t_i, b_i \leq 10^5\)，\(0 \leq A,B,C \leq 10^{16}\)。

解法：

若固定了每科成绩公布的时间，显然同学等待导致的不愉快度只和公布时间的最大值有关。由于 \(t_i, b_i \leq 10^5\)，枚举最大的公布时间，二分后贪心地选就可以做到 \(O(n \log n)\)，值域很大，可能需要 __int128。

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D1T2 相逢是问候

信息将你我连结。

题意：

你要维护一个长度为 \(n\) 的非负整数序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\)，同时给定两个正整数 \(c,p\)。

一共有 \(m\) 个操作，可以分为两种：

• 0 l r 表示将第 \(l\) 个到第 \(r\) 个数（ \(a_l,a_{l+1} ...a_r\)）中的每一个数 \(a_i\) 替换为 \(c^{a_i}\)，即 \(c\) 的 \(a_i\) 次方，其中 \(c\) 是输入的一个常数，也就是执行赋值 \(a_i = c^{a_i}\)。

• 1 l r 求第 \(l\) 个到第 \(r\) 个数的和，也就是输出 \(\sum_{i=l}^{r}a_i\)。

因为这个结果可能会很大，所以你只需要输出结果对 \(p\) 取模的结果即可。

\(1\le n,m \le 5\times 10^4\)，\(1 \le p \le 10^8\)，\(0< c < p\)，\(0 \le a_i < p\)，时限 \(2\) 秒。

解法：

考虑一个经典套路。

对于幂塔而言，根据拓展欧拉公式可以递归求解，但事实上可以发现每一步操作模数 \(p\) 都会递归变为 \(\varphi(p)\)，根据经典结论我们知道，不断执行 \(p \leftarrow \varphi(p)\)，最终 \(p\) 会在 \(O(\log{p})\) 轮内变为 \(1\)。证明考虑若 \(p\) 为偶数，则 \(\varphi(p) \leq \dfrac{p}{2}\)，若 \(p\) 为奇数，则除 \(p=1\) 外，\(\varphi(p)\) 为偶数。

这样我们可以发现，对于每个位置，如果幂塔层数超过 \(p\) 变到 \(1\) 所需次数，那么对其继续增加层数并不会影响其值，因为递归到最后，其值甚至都不受 \(a_i\) 的影响。这样我们维护一棵线段树，每个点维护区间内操作次数最小值和区间和。修改暴力递归到所有有意义的叶子节点，然后直接递归求解不超过 \(O(\log {p})\) 层的幂塔。这样总复杂度为 \(O(n \log^3 p)\)，其实并不能确保通过。事实上有两种解决方案。一种是注意到数据很弱，将幂塔层数上限调低就可以通过本题，另一种是注意到能优化的复杂度的在快速幂上，我们只需要快速计算 \(c^x\) 对若干常数取模的结果。模数数量为 \(O(\log p)\) 量级，对于每个模数光速幂即可。复杂度为 \(O(n \log^2 {p}+\sqrt{p}\log{p})\)。

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D1T3 组合数问题

题意：

给定整数 \(n,p,k,r\)，你需要求出 \(\sum \limits_{i = 0}^{+\infty} \dbinom{nk}{ik+r}\) 对 \(p\) 取模的结果。换句话来说，在 \(nk\) 个互相区分物品中无序选出模 \(k\) 余 \(r\) 个的方案数。不保证 \(p\) 为质数。

\(1 \leq n \leq 10^9\)，\(0 \leq r < k \leq 50\)，\(2 \leq p < 2^{30}\)。

解法：

直接考虑组合意义或者代数推导都不容易。考虑一个 DP，记 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 个互相区分物品中选出模 \(k\) 余 \(j\) 个的方案数。发现有 \(f_{i,j}=f_{i-1,j}+f_{i-1,(j-1)\bmod k}\)。然后直接矩阵快速幂就可以做到 \(O(k^3 \log n)\)。这是 T3？

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D2T1 摧毁“树状图”

题意：

给定一一棵 \(n\) 个点的树，选择两条在边上不交的非空简单路径，求删掉所有路径上的点和相邻的边后树的连通块个数最大值。

\(n \leq 5 \times 10^5\)。

解法：

将路径选法分为两类，分别是两条路径是否有交点。对于有交点的，我们直接换根 DP 枚举交点，对于每个交点维护一端为这个点的前 \(4\) 大路径权值和就行。

对于没有交点的选法，必然存在一条边，使得路径在两侧。这个也可以换根 DP 解决。

代码还没实现，感觉不是很好写。

D2T2 分手是祝愿

时空将你我分开。

题意：

给定一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 序列和整数 \(k\)。每次操作选择一个值 \(1\leq i \leq n\)，将 \(i\) 的所有因数的 \(01\) 状态反转，终止状态为所有数都为 \(0\)。问使用如下策略操作，期望操作次数乘以 \(n!\) 对 \(100003\) 取模的结果是多少。策略为，每一次操作前，如果目前局面的最优操作步数不超过 \(k\)，则使用最优操作策略，否则在 \([1,n]\) 中等概率均匀随机选择操作的 \(i\)。

\(1 \leq n \leq 10^5\)，\(0 \leq k \leq n\)。

解法：

考虑对于 \(01\) 序列如何计算最优操作步数。显然是从后往前依次操作每个目前还是 \(1\) 的，并将其因数都反转，复杂度 \(O(n \log n)\)。

如果最优步数小于等于 \(k\)，显然直接输出最优步数。

否则，我们考虑令 \(b_1,b_2,\cdots,b_n\) 表示最优策略下每个位置是否要被操作。容易发现每次操作都是反转 \(b\) 的某一位，且期望步数只与 \(b\) 中 \(1\) 的数量有关，与具体形态无关。于是可以进行一个 DP。记 \(f_i\) 表示目前最小操作次数为 \(i\)，期望多少步使得最小步数为 \(i-1\)。有边界 \(f_n=1\)。转移很容易，有 \(f_i = \dfrac{i}{n}+\dfrac{n-i}{n}(f_i+f_{i+1}+1)\)。将 \(f_i\) 提取出来后就可以直接求出了，总复杂度 \(O(n \log n)\)。

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D2T3 寿司餐厅

题意：

有 \(n\) 件菜，每件有其种类 \(a_i\) 和美味度 \(d_{i,i}\)，每件菜数量无限。你可以进行任意轮取菜，每次可以选择 \([1,n]\) 中一个子区间的所有菜。另外，多件菜一起吃可能会有额外效果。具体来说，对于所有 \(i<j\)，同时选择 \([i,j]\) 中所有菜会额外获得 \(d_{i,j}\) 的美味度，注意 \(d\) 可正可负。你有记忆功能，对于任意 \(i \leq j\)，即使 \(d_{i,j}\) 被多次触发，也只计算一次贡献。但是菜并不是免费的，菜店有一个常数 \(m\)。对于种类 \(x\) 的菜，假设你总共吃过 \(c>0\) 件这样种类的菜，你需要支付 \(mx^2+cx\) 元。你需要最大化你获得的美味度减去你要支付的钱数。你不用输出构造。

\(1 \leq n \leq 100\)，\(m \in \{0,1\}\)，\(-500 \leq d_{i,j} \leq 500\)，\(1 \leq a_i \leq 1000\)。

解法：

每个 \(d\) 多次触发只算一次，触发有依赖关系，有负权，最大化答案，不然让我们想到最大权闭合子图模型。

对于所有 \([i,j]\) 建立点，点权 \(d_{i,j}\)，对于每个 \([i,j]\) 应该向其所有子区间连有向边，但不难发现只需要连 \([i,j-1]\) 和 \([i+1,j]\) 就行。对于所有 \([i,i]\)，向种类点 \(a_i\) 连一条有向边。问题显然等价于图上最大权闭合子图。建立源点汇点，源点向所有非负权点连容量为权值的边，负权点向汇点连容量为权值绝对值的边，保留原图所有边，容量为 \(+\infty\)，转成最小割，答案等于正权点权值和减去最小割。

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九省联考 \(2018\)

D1T1 一双木棋

题意：

有一个 \(n \times m\) 网格，Alice 和 Bob 在玩游戏。给定两个 \(n\times m\) 数字棋盘 \(a_{i,j}\) 与 \(b_{i,j}\)。Alice 先手，玩家每次选择网格上某个点落子，满足这个点在第一行或上方的格子已经落过子，并且这个点在第一列或左方的格子已经落过子。当 Alice 在 \((i,j)\) 落子时，获得得分 \(a_{i,j}\)，而 Bob 则获得得分 \(b_{i,j}\)。玩家的总得分为每次得分和。双方都希望最大化己方总得分减对方总得分，如果双方都使用最优策略，求最终 Alice 总得分减 Bob 总得分。

\(1 \leq n, m \leq 10\)，\(0 \leq a_{i,j},b_{i,j} \leq 10^5\)。时限 \(1\) 秒。

解法：

范围很小。

容易发现任何局面，目前已落过子的格子形成一个左上的楼梯状。具体来说令 \(c_1,c_2,\cdots,c_n\) 为每行的前缀落子个数，则必有 \(c_1 \geq c_2 \geq c_3 \geq \cdots \geq c_n\)。直接状压一手，将 \(c_1,c_2,\cdots,c_n\) 放进状态，转移是简单的。使用 unordered_map 即可通过。对于状态分析，考虑统计方案数其实是一个组合计数问题，具体来说插板就行，算出来状态数大概是 \(10^6\) 级别，可以通过。

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D1T2 IIIDX

题意：

给定 \(n\) 个数的整数序列 \(d_1,d_2,\cdots,d_n\) 和实数 \(k > 1\)。你需要求 \(d\) 的字典序最大的排列，满足对于所有 \(1 \leq i \leq n\)，要么 \(\lfloor \dfrac{i}{k} \rfloor < 1\)，要么 \(d_i \geq d_{\lfloor \frac{i}{k}\rfloor}\)。

\(1 \leq n \leq 5 \times 10^5\)，\(1 < k \leq 10^9\)，\(1 \leq d_i \leq 10^9\)。时限 \(2\) 秒。

解法：

典中典套路题。

要求字典序最大，首先考虑到的是从前往后贪心。我们从前往后考虑每个 \(i\)，我们希望对于这个 \(i\) 求出最大的 \(d_i\)，使得这段前缀固定时，存在填后缀的方案使得序列符合要求。不难注意到每个 \(i\) 的最大 \(d_i\) 可以二分，现在问题转化为如果已经钦定了一段前缀的值，是否存在后缀使得序列符合要求。考虑所有 \(i <j\leq n\)，如果 \(\lfloor \dfrac{j}{k}\rfloor \leq i\)，则 \(d_j\) 有最小值，否则 \(d_{\lfloor \frac{j}{k} \rfloor}\) 还没有确定，但是不断往前推，每次除以 \(k\) 下取整，必然会到达某个 \(\leq i\) 的位置，那么对于所有 \(i < j \leq n\)，\(d_j\) 都有最小值，不妨记为 \(c_j\)。

现在判定问题变成了，是否存在一个 \(d_1,d_2,\cdots,d_m\) 的排列，使得对于所有 \(i\)，都有 \(d_i \geq c_i\)。这个不是那个经典的 Hall 定理吗？考虑二分图匹配，每个左侧点能匹配到右侧点一段后缀，根据 Hall 定理，又由于左侧点连的是右侧后缀，令 \(a_i\) 表示 \(d_j \geq i\) 的 \(j\) 的个数，\(b_i\) 表示 \(c_j \geq i\) 的 \(j\) 的个数，有解的充要条件为 \(\forall i,a_i \geq b_i\)。我们只需要维护 \(a_i - b_i\) 最小值即可。发现二分后可以直接使用线段树维护之，支持区间加减区间最小值，复杂度 \(O(n \log^2 n)\)，实现精细可以在 LOJ 以最坏 \(1.2\) 秒，洛谷 \(1.8\) 秒内的时间通过。洛谷评测机还是太菜了！

二分应该可以放到线段树上，这样可以做到单 \(\log\)。

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D1T3 秘密袭击

题意：

给定一棵 \(n\) 个点的树和常数 \(k\)，点有点权 \(a_i\)。求所有树上连通块中第 \(k\) 大点权之和，对 \(64123\) 取模。若连通块大小不足 \(k\) 则第 \(k\) 大点权为 \(0\)。

\(1 \leq k \leq n \leq 1666\)，\(1 \leq a_i \leq 1666\)，时限 \(7\) 秒。

解法：

我不会正解，但是数据太菜了。

首先三次方做法应该是容易的。第 \(k\) 大不容易刻画，但是如果点权只有 \(0\) 或 \(1\) 怎么做？直接树上背包就做完了。然后考虑枚举值域每个数 \(x\)，令 \(d_i = [a_i > x]\)，此时点权为 \(0\) 与 \(1\)，做背包，将结果求和即可。这样总复杂度为 \(O(n^3)\)，理论上无法通过，但是交上去会发现只超时了一个点，且这个点正好是链。对链特殊做一下就可以通过了。

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D2T1 劈配

题意：

建议自行阅读。

解法：

考虑先求第一问，类似连续攻击游戏，直接从前往后做匈牙利就行，复杂度为 \(O(n^2C)\)，\(C\) 很小，可以接受。但是第二问如果直接二分，复杂度是 \(O(n^3C\log n)\)，不一定能过。但是只要把所有前缀的结果记录下来，判定时就可以一次找增广路，总复杂度 \(O(n^2C\log n)\)，可以通过。

D2T2 林克卡特树

题意：

给定一棵 \(n\) 个点的树和整数 \(k\)，边有整数边权，可能为负。你需要选择树上恰好 \(k\) 条边，将选定边删去，然后再加入 \(k\) 条权值为 \(0\) 的边，需要保证加边后仍是一棵树，你需要最大化最终这棵树的最长简单路径边权和。

\(0 \leq k<n \leq 3 \times 10^5\)，\(\left| v_i \right| \leq 10^6\)。

解法：

相当于你要在树上选 \(k\) 条点不相交路径，最大化路径边权和之和。

恰好不好做，我们手玩一下发现结果应该关于 \(k\) 是一个上凸函数啊。证明我也不会。

然后考虑 wqs 二分。现在问题转化为，在树上选若干点不相交路径，每选一条需要花费 \(w\) 代价，你要最大化路径边权和减去代价。

考虑 DP，记 \(f_{i,0/1/2}\) 表示在 \(i\) 子树内选路径，\(i\) 目前不被选择，或在某条路径端点，或是路径中某个度数为 \(2\) 的点时的答案，DP 时同时记录一下选的路径数量即可做到线性，总复杂度 \(O(n \log V)\)。

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D2T3 制胡窜

不会。

省选联考 \(2020\) A 卷

D1T1 冰火战士

题意：请自行查看。

解法：

容易发现总能量和其实是两倍的 \(\min\) 状物，这个东西直接维护线段树上二分就能找到 \(\min\) 的分界点，两侧做区间询问就行。

D1T2 组合数问题

题意：

你要求 \(\left(\sum \limits_{k=0}^{n}f(k)\times x^k\times \dbinom{n}{k}\right)\bmod p\) 的值。其中 \(n\), \(x\), \(p\) 为给定的整数，\(f(k)\) 为给定的一个 \(m\) 次多项式 \(f(k) = a_0 + a_1k + a_2k^2 + \cdots + a_mk^m\)。\(\binom{n}{k}\) 为组合数，其值为 \(\dbinom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)。

\(1 \leq n, x, p \leq 10^9\)，\(0 \leq a_i \leq 10^9\)，\(0 \leq m \leq \min\{n,1000\}\)，不保证 \(p\) 是质数。

解法：

我们考虑将多项式拆开，对于每个 \(a_i\) 求贡献系数。则答案等于 \(\sum \limits_{i=0}^m a_i \sum \limits_{k=0}^n k^ix^k\dbinom{n}{k}\)。这里把 \(x^k\) 展开成下降幂形式，即 \(\sum \limits_{j=0}^k x^{\underline{j}} \dbinom{k}{j}j!\)，然后把 \(\dbinom{n}{k}\dbinom{k}{j}\) 拆成 \(\dbinom{n}{j}\dbinom{n-j}{k-j}\)，先枚举 \(j\) 后枚举 \(k\)，关于 \(n\) 的式子变成了一个二项式定理，直接计算即可。复杂度 \(O(m^2)\)。

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D1T3 魔法商店

我还不会保序回归。