P6233 [eJOI2019]Awesome Arrowland Adventure

比较容易的最短路。

主要考虑如何建图，可以发现每个点只要不是 X，那么它可以和与它四联通的每个点建边，那么边权是多少呢？

设目前点为 $(x_1, y_1)$，目标点为 $(x_2, y_2)$，$(x_2, y_2)$ 是与 $(x_1, y_1)$ 四联通的一个点，那么可得边权应该是目前点到目标点需要旋转的次数。

那么如果一个点为 X 怎么办？有两种做法，一种是仍然建边，不过边权是 $\infty$，另一种是不建边，这两种都可行，但第二种更优一些。

建完图后，可以发现，边权并不完全相同，考虑最短路或者 01-BFS，实测 01-BFS 快一些。

另外，网格图最短路建议选择 Dijkstra，SPFA 复杂度会很高。

Dijkstra 代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

constexpr int N(505), M(1e6 + 5);

int n, m;
char c[N][N];

int dx[] = { -1, 1, 0, 0 }; // 上下左右
int dy[] = { 0, 0, -1, 1 };

#define get(x) (x == 'W' ? 2 : (x == 'E' ? 3 : (x == 'N' ? 0 : 1)))

#define change(x) (x == 'W' ? 'N' : (x == 'E' ? 'S' : (x == 'N' ? 'E' : 'W')))

#define cg(x, y) ((x - 1) * m + y)

struct Edge
{
	int to, cost;
	Edge(int _to, int _cost): to(_to), cost(_cost){}
};

vector<Edge> G[M];
int dis[M];
bool f[M];

struct Node
{
	int place, dist;
	Node(int _p, int _d): place(_p), dist(_d){}
	bool operator<(const Node& g) const
	{
		return dist > g.dist;
	}
};

inline void dijkstra()
{
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	dis[1] = 0;
	priority_queue<Node> q;
	q.push(Node(1, 0));
	while (q.size())
	{
		int l = q.top().place;
		q.pop();
		if (f[l]) continue;
		f[l] = true;
		for (register int i(0), j(G[l].size()); i < j; ++i)
		{
			register int nx(G[l][i].to);
			if (dis[nx] > dis[l] + G[l][i].cost)
			{
				dis[nx] = dis[l] + G[l][i].cost;
				if (!f[nx]) q.push(Node(nx, dis[nx]));
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (register int i(1); i <= n; ++i)
	{
		for (register int j(1); j <= m; ++j)
		{
			scanf(" %c", &c[i][j]);
			if (c[i][j] != 'X')
			{
				int p(get(c[i][j])), k(cg(i, j)), nx(i + dx[p]), ny(j + dy[p]);
				char h(c[i][j]);
				if (nx >= 1 and nx <= n and ny >= 1 and ny <= m)
				{
					G[k].push_back(Edge(cg(nx, ny), 0)); // 原始方向
				}
				for (register int bn(1); bn <= 3; ++bn)
				{
					h = change(h);
					p = get(h);
					nx = i + dx[p], ny = j + dy[p];
					if (nx >= 1 and nx <= n and ny >= 1 and ny <= m) G[k].push_back(Edge(cg(nx, ny), bn));
				}
			}
		}
	}
	dijkstra();
	printf("%d\n", dis[cg(n, m)] == dis[0] ? -1 : dis[cg(n, m)]);
	return 0;
}

01-BFS 代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

constexpr int N(505), M(1e6 + 5);

int n, m;
char c[N][N];

int dx[] = { -1, 1, 0, 0 }; // 上下左右
int dy[] = { 0, 0, -1, 1 };

#define get(x) (x == 'W' ? 2 : (x == 'E' ? 3 : (x == 'N' ? 0 : 1)))

#define change(x) (x == 'W' ? 'N' : (x == 'E' ? 'S' : (x == 'N' ? 'E' : 'W')))

#define cg(x, y) ((x - 1) * m + y)

struct Edge
{
	int to, cost;
	Edge(int _to, int _cost): to(_to), cost(_cost){}
};

vector<Edge> G[M];
int dis[M];

inline void bfs()
{
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	dis[1] = 0;
	deque<int> q;
	q.push_back(1);
	while (q.size())
	{
		int l = q.front();
		q.pop_front();
		for (register int i(0), j(G[l].size()); i < j; ++i)
		{
			register int nx(G[l][i].to);
			if (dis[nx] > dis[l] + G[l][i].cost)
			{
				dis[nx] = dis[l] + G[l][i].cost;
				if (G[l][i].cost == 0) q.push_front(nx);
				else q.push_back(nx);
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (register int i(1); i <= n; ++i)
	{
		for (register int j(1); j <= m; ++j)
		{
			scanf(" %c", &c[i][j]);
			if (c[i][j] != 'X')
			{
				int p(get(c[i][j])), k(cg(i, j)), nx(i + dx[p]), ny(j + dy[p]);
				char h(c[i][j]);
				if (nx >= 1 and nx <= n and ny >= 1 and ny <= m)
				{
					G[k].push_back(Edge(cg(nx, ny), 0)); // 原始方向
				}
				for (register int bn(1); bn <= 3; ++bn)
				{
					h = change(h);
					p = get(h);
					nx = i + dx[p], ny = j + dy[p];
					if (nx >= 1 and nx <= n and ny >= 1 and ny <= m) G[k].push_back(Edge(cg(nx, ny), bn));
				}
			}
		}
	}
	bfs();
	printf("%d\n", dis[cg(n, m)] == dis[0] ? -1 : dis[cg(n, m)]);
	return 0;
}

最后说一个技巧，大家看代码可以发现，我的代码有一个 #define cg(x, y) ((x - 1) * m + y)，这是什么意思呢？不知道大家发现没有，这道题是一个二维的平面，我们最短路上的 dis 数组应该是二维，但是我的为什么是一维的呢？我们有一个办法，可以将坐标 $(x, y)$ 转化为一个唯一的值，其实就是以这个点为右下角，以 $(1, 1)$ 为左上角的矩形包括的点的个数，显然这个值是唯一的。