CF1117G Recursive Queries 题解

题意相当于，对 $[l,r]$ 建出大根笛卡尔树后，求每个点的子树大小的和。

考虑点 $i$ 的子树大小的意义是什么？笛卡尔树上每个点的子树的编号连续。

设 $L_i$ 表示 $i$ 左边第一个大于 $a_i$ 的位置，$R_i$ 表示右边第一个大于 $a_i$ 的位置。同时，设 $a_0 = a_{n+1} = +\infty$。

点 $i$ 的子树大小为 $\min\{r,R_i-1\}-\max\{l,L_i+1\}+1$。即，点 $i$ 的子树包括这一段连续的，容易发现点权是满足堆的性质的。

故答案为 $\sum \limits_{i=l}^r \min\{r,R_i-1\}-\max\{l,L_i+1\}+1$。

$+1$ 可以直接拆出来，$\min$ 和 $\max$ 分别计算，方法相同。

考虑离线，逆序枚举 $r$，随着 $r$ 递减，$r$ 和 $R_i-1$ 的最小值发生改变只会进行至多 $1$ 次，使用树状数组维护即可。

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 5;

int n, m, a[N];
int l[N], r[N];
int L[N], R[N];

long long res1[N], res2[N];
vector<int> v[N], v2[N];

class SegmentTree
{
public:
	long long tr[N];
	int lowbit(int x)
	{
		return x & -x;
	}
	void CLEAR()
	{
		for (int i = 0; i < N; i++) tr[i] = 0;
	}
	void update(int u, long long x)
	{
		while (u < N)
		{
			tr[u] += x;
			u += lowbit(u);
		}
	}
	long long query(int u)
	{
		long long res = 0LL;
		while (u)
		{
			res += tr[u];
			u -= lowbit(u);
		}
		return res;
	}
}s1, s2;

vector<int> qr[N], qr2[N];

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], L[i] = 0, R[i] = n + 1;
	for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> l[i], qr2[l[i]].emplace_back(i);
	for (int i = 1; i <= m; i++) cin >> r[i], qr[r[i]].emplace_back(i);
	stack<int> st;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		while (st.size() && a[st.top()] < a[i])
		{
			R[st.top()] = i;
			st.pop();
		}
		if (st.size()) L[i] = st.top();
		st.push(i);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		L[i]++, R[i]--;
		v[R[i]].emplace_back(i);
		v2[L[i]].emplace_back(i);
		s1.update(i, R[i]);
	}
	// min(r, R[i])
	for (int i = n; i >= 1; i--) // 枚举 r
	{
		for (auto& j : v[i])
		{
			s1.update(j, -R[j]);
			s2.update(j, 1);
		}
		for (auto& j : qr[i])
		{
			res1[j] = s1.query(r[j]) - s1.query(l[j] - 1) + 1LL * r[j] * (s2.query(r[j]) - s2.query(l[j] - 1));
		}
	}
	s1.CLEAR();
	s2.CLEAR();
	for (int i = 1; i <= n; i++) s1.update(i, L[i]);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (auto& j : v2[i])
		{
			s1.update(j, -L[j]);
			s2.update(j, 1);
		}
		for (auto& j : qr2[i])
		{
			res2[j] = s1.query(r[j]) - s1.query(l[j] - 1) + 1LL * l[j] * (s2.query(r[j]) - s2.query(l[j] - 1));
		}
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		cout << res1[i] - res2[i] + (r[i] - l[i] + 1) << " ";
	}
	cout << "\n";
	return 0;
}