图与网络——最小树问题精解
最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）问题是图论中的一个重要问题，其核心思想是：给定一个无向加权图（每条边具有权重值），通过选择若干边构建一棵包含所有顶点的生成树，并确保这些边的权重总和最小。最小生成树不仅保持了生成树的连通性和无圈性，还要求总权重最小化。在实际应用中，最小生成树问题在计算机科学和网络设计领域广泛使用，它常用于优化电路网络、建立通信网络、规划道路交通系统等，可以有效降低基础设施建设成本、提高资源利用效率，这类问题可通过经典的算法如Prim和Kruskal进行求解。
| 无向图 | 最小树 |
|---|---|
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一、最小树的界定
什么是树？
树是图论中的一种特殊数据结构，是一个无圈、连通的无向图。树由顶点和边组成，满足以下特征：
无圈性：树中没有任何回路，即任意两个顶点之间有且仅有一条路径。
连通性：树是连通的，任意两个顶点之间都有一条路径相连。
什么是生成树？
生成树是指从一个连通无向图中选择若干条边，构成一个包含图中所有顶点且无圈的子图。生成树满足以下条件：
覆盖所有顶点：生成树中的顶点与原图相同，包含原图的所有顶点。
无圈性：生成树中没有任何环，满足树的定义。
边的数量：生成树的边数是\(n-1\)，\(n\)是顶点的数量。
对于一个连通图，可能存在多个不同的生成树，每棵生成树都符合上述定义。
| 图 | 树非生成树 | 生成树或支撑树 |
|---|---|---|
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树模型具有下面重要性质：
设 \(T=(V, E)\) 是一个 \(|V|\geqslant 3\) 的无向图，则下列关于树的命题是等价的：
\(T\) 连通且无圈；
\(T\) 的任何两个顶点间均必有一条且仅有一条通路相连；
\(T\) 连通且有 \(n-1\) 条边，这里 \(n=|V|\)；
\(T\) 有 \(n-1\) 条边且无圈，这里 \(n=|V|\)；
\(T\) 无圈，但在 \(T\) 中任意两个不相邻的顶点间添加一条边，就可构成一个圈；
\(T\) 连通，但去掉任意一条边后就不连通，即树 \(T\) 是连通且边数最少的图。
什么是最小生成树(最小树)？
最小生成树是生成树的一种特殊形式，定义为：在一个加权无向图中，所有生成树中边权和最小的那棵生成树。它不仅符合生成树的所有条件，还要求所选边的权重总和最小。若\(G=(V, E, W)\) 是一个连通的赋权图，\(T=(V, S)\) 是 \(G\) 的支撑树，把 \(T\) 中所有边的权之和称作树 \(T\) 的权，记作 \(w(T)\)，即：$$w(T) = \sum_{e\in S} w(e)$$，\(G\) 中权最小的支撑树 \(T\) 称为 \(G\) 的最小支撑树，简称最小树。
在现实生活中，比如在城市之间建立输电网络、电话线网或光纤网络时，我们希望找到一种最优的布线方案，使得总长度或总费用最小化。这类问题可以被转化为赋权图的最小树问题。
最小生成树具有特点：
连通性：最小生成树依然是连通的，能够覆盖图的所有顶点。
无圈性：最小生成树没有回路，符合树的基本属性。
最小权重和：最小生成树的边权重总和在所有可能的生成树中最小。
最小生成树在网络优化、路径规划、通信设计等领域具有重要应用，常用于降低成本、提高效率。
二、最小树问题的数学模型
2.1 问题描述
给定一个无向连通图 \(G=(V,E)\)：
- \(V\)：顶点集合，\(|V|=n\)
- \(E\)：边集合，\(|E|=m\)
- 每条边 \((i,j)\in E\) 有一个非负权重（或距离、费用）\(c_{ij}\)
目标：
从 \(E\) 中选择 \(n-1\) 条边，使得
- 所选边连接所有节点（形成树）；
- 总权重最小。
2.2 决策变量
定义二进制变量
2.3 目标函数
最小化选边总权重
2.4 约束条件
生成树边数约束
树中必须恰好有 \(n-1\) 条边
连通性与无环约束（割约束）
对任意非空真子集 \(S\subset V\)
防止回路（子环消除）
对任意子集 \(S\subset V\)
变量取值
2.5 完整模型
三、最小树算法的Python求解
根据最小树的最小权要求，所以大致构成这颗树的边权也应该小一些，这样就获得最小生成树的多种求解方法。例如手工计算的破圈法和避圈法，软件程序最经典的两种是Kruskal算法和Prim算法。
3.1 Kruskal算法
Kruskal算法同样基于贪心思想，但与Prim算法不同的是，它是基于边的排序进行操作的。Kruskal算法先将图中的所有边按权重从小到大排序，然后依次选择这些边，确保选择的边不会形成圈。算法适合处理稀疏图。Kruskal算法步骤：
将图中的所有边按权重升序排列。
依次选择权重最小的边，判断该边是否会形成环。如果不会形成环，则将该边加入生成树。
重复上面步骤，直到生成树包含 \(n-1\)条边为止。
例1：给定无向图\(G(n，m)\)表明图G有\(n\)个顶点，\(m\)条边，通过Kruskal算法构造一个最小生成树。
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
# 设置中文字体，确保Matplotlib支持中文
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 设置中文字体为黑体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决负号显示问题
# 创建图
G = nx.Graph()
# 添加节点
nodes = ['V1', 'V2', 'V3', 'V4', 'V5', 'V6']
G.add_nodes_from(nodes)
# 添加边和权重
edges = [
('V1', 'V5', 1),
('V1', 'V6', 2),
('V1', 'V2', 3),
('V2', 'V6', 4),
('V2', 'V3', 5),
('V3', 'V6', 6),
('V3', 'V4', 7),
('V4', 'V6', 8),
('V4', 'V5', 9)
]
G.add_weighted_edges_from(edges)
# Kruskal最小生成树的边
mst_edges = [('V1', 'V5'), ('V1', 'V6'), ('V1', 'V2'), ('V2', 'V3'), ('V3', 'V4')]
# 手动设置每个节点的位置，确保V6在中间，其他顶点围绕它
pos = {
'V6': (0, 0), # V6在中间
'V1': (0, 1), # V1在上方
'V2': (1, 0.5), # V2在右上方
'V3': (1, -0.5), # V3在右下方
'V4': (0, -1), # V4在下方
'V5': (-1, 0) # V5在左侧
}
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(8, 6))
# 绘制所有边，调整线条粗细和节点大小，设置节点标签的字体大小为15
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_color='lightblue', node_size=3000, font_size=45, font_weight='bold', edge_color='gray', width=6) # 字体和边线粗细增加三倍
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels={(u, v): f'{d}' for u, v, d in edges}, font_size=30) # 边权重的字体大小为默认的三倍
# 用红色标出最小生成树的边，线宽设置为原来的三倍
nx.draw_networkx_edges(G, pos, edgelist=mst_edges, width=6, edge_color='red') # 最小生成树的边线宽度为原来的三倍
# 设置标题，字体大小增大三倍
plt.title("最小生成树", fontsize=60)
# 显示图形
plt.show()
3.2 Prim算法
Prim算法是一种基于贪心思想的算法，适合处理稠密图。算法从一个起始顶点开始，将其加入生成树，然后不断选择与当前生成树相连的权重最小的边，将该边所连接的顶点加入生成树，直到所有顶点都被包括在内为止。Prim算法步骤：
从任意一个顶点出发，初始时将该顶点加入生成树。
查找与已加入生成树的顶点相邻的最小权重边，将该边及其相邻的顶点加入生成树。
重复上述步骤，直到所有顶点都包含在生成树中。
例2：某地的5个城镇需要铺设天然气管道，下图中给出了5个城镇之间可以铺设管道的情况的以及距离，先求一个设计方案，用最短的管道将5个城镇连接起来。
| 原图 | 迭代1 | 迭代5 |
|---|---|---|
 |
 |
 |
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
import heapq
# 设置中文字体，确保Matplotlib支持中文
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 设置中文字体为黑体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 解决负号显示问题
# 创建图
G = nx.Graph()
# 添加节点
nodes = ['V1', 'V2', 'V3', 'V4', 'V5', 'V6']
G.add_nodes_from(nodes)
# 添加边和权重
edges = [
('V1', 'V2', 1),
('V1', 'V4', 7),
('V1', 'V3', 3),
('V1', 'V5', 9),
('V2', 'V3', 6),
('V2', 'V4', 4),
('V2', 'V5', 3),
('V3', 'V4', 5),
('V3', 'V6', 10),
('V4', 'V5', 8),
('V4', 'V6', 3)
]
G.add_weighted_edges_from(edges)
# 修改邻接表，基于edges
graph = {
'V1': {'V2': 1, 'V3': 3, 'V4': 7, 'V5': 9},
'V2': {'V1': 1, 'V3': 6, 'V4': 4, 'V5': 3},
'V3': {'V1': 3, 'V2': 6, 'V4': 5, 'V6': 10},
'V4': {'V1': 7, 'V2': 4, 'V3': 5, 'V5': 8, 'V6': 3},
'V5': {'V1': 9, 'V2': 3, 'V4': 8},
'V6': {'V3': 10, 'V4': 3}
}
# Prim算法实现
def prim_mst(graph, start):
mst = [] # 存储最小生成树的边
visited = set([start]) # 记录已经访问过的节点
edges = [(weight, start, to) for to, weight in graph[start].items()]
heapq.heapify(edges) # 将边加入优先队列
while edges:
weight, frm, to = heapq.heappop(edges)
if to not in visited:
visited.add(to)
mst.append((frm, to))
for next_to, next_weight in graph[to].items():
if next_to not in visited:
heapq.heappush(edges, (next_weight, to, next_to))
return mst
# 使用Prim算法求最小生成树
mst_edges = prim_mst(graph, 'V1')
# 定义节点的位置布局，V3在中间
pos = {
'V3': (0, 0), # V3在中间
'V1': (0, 1), # V1在上方
'V2': (1, 0.5), # V2在右上方
'V4': (0, -1), # V4在下方
'V5': (-1, 0), # V5在左侧
'V6': (1, -0.5) # V6在右下方
}
# 调整字体大小和边线粗细
plt.figure(figsize=(8, 6))
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_color='lightblue', node_size=3000, font_size=36, font_weight='bold', edge_color='gray', width=6) # 调整font_size和width
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels={(u, v): f'{d}' for u, v, d in edges}, font_size=30) # 边权重的字体大小调大
# 用红色标出最小生成树的边
nx.draw_networkx_edges(G, pos, edgelist=mst_edges, width=6, edge_color='red') # 边线粗三倍
# 设置标题
plt.title("Prim算法求解最小生成树", fontsize=36) # 标题字体调整
# 显示图形
plt.show()
例3：某地有10个城镇，它们之间的距离见表1。城镇1处有一条河流，现需要从各城镇之间铺设管道，使城镇1处的水可以输送到各城镇，求铺设管道最少的设计方式。
| 地区 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 8 | 5 | 9 | 12 | 14 | 12 | 16 | 17 | 22 |
| 2 | 8 | 0 | 9 | 15 | 16 | 8 | 11 | 18 | 14 | 22 |
| 3 | 5 | 9 | 0 | 7 | 9 | 11 | 7 | 12 | 12 | 17 |
| 4 | 9 | 15 | 7 | 0 | 3 | 17 | 10 | 7 | 15 | 15 |
| 5 | 12 | 16 | 9 | 3 | 0 | 8 | 10 | 6 | 15 | 15 |
| 6 | 14 | 8 | 11 | 17 | 8 | 0 | 9 | 14 | 8 | 16 |
| 7 | 12 | 11 | 7 | 10 | 10 | 9 | 0 | 8 | 6 | 11 |
| 8 | 16 | 18 | 12 | 7 | 6 | 14 | 8 | 0 | 11 | 11 |
| 9 | 17 | 14 | 12 | 25 | 15 | 8 | 6 | 11 | 0 | 10 |
| 10 | 22 | 22 | 17 | 15 | 15 | 16 | 11 | 11 | 10 | 0 |
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
# 创建一个空的无向图
G = nx.Graph()
# 添加边和对应的权重
edges = [
(1, 2, 8), (1, 3, 5), (1, 4, 9), (1, 5, 12), (1, 6, 14), (1, 7, 12), (1, 8, 16), (1, 9, 17), (1, 10, 22),
(2, 3, 9), (2, 4, 15), (2, 5, 16), (2, 6, 8), (2, 7, 11), (2, 8, 18), (2, 9, 14), (2, 10, 22),
(3, 4, 7), (3, 5, 9), (3, 6, 11), (3, 7, 7), (3, 8, 12), (3, 9, 12), (3, 10, 17),
(4, 5, 3), (4, 6, 17), (4, 7, 10), (4, 8, 7), (4, 9, 15), (4, 10, 15),
(5, 6, 8), (5, 7, 10), (5, 8, 6), (5, 9, 15), (5, 10, 15),
(6, 7, 9), (6, 8, 14), (6, 9, 8), (6, 10, 16),
(7, 8, 8), (7, 9, 6), (7, 10, 11),
(8, 9, 11), (8, 10, 11),
(9, 10, 10)
]
G.add_weighted_edges_from(edges)
# 使用 spring_layout 确保两个图布局一致
pos = nx.spring_layout(G, seed=42)
# 构造最小生成树
mst = nx.minimum_spanning_tree(G, weight='weight')
# 计算最小生成树总权重
total_weight = sum(mst[u][v]['weight'] for u, v in mst.edges())
print("Total weight of the Minimum Spanning Tree:", total_weight)
# 创建两个子图画布
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 6))
# 绘制原始图
nx.draw(G, pos, with_labels=True, ax=ax1, node_color='lightgreen', edge_color='gray', node_size=700, font_size=10, font_weight='bold')
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=nx.get_edge_attributes(G, 'weight'), ax=ax1)
ax1.set_title("Original Network Graph")
# 绘制最小生成树图
nx.draw(mst, pos, with_labels=True, ax=ax2, node_color='lightblue', edge_color='black', node_size=700, font_size=10, font_weight='bold')
nx.draw_networkx_edge_labels(mst, pos, edge_labels=nx.get_edge_attributes(mst, 'weight'), ax=ax2)
ax2.set_title("Minimum Spanning Tree")
plt.tight_layout()
plt.show()
总结
最小生成树问题是图论中重要的优化问题，它要求在给定的无向图中找到一棵边权和最小的生成树。生成树具有连通性和无环性，而最小生成树则在此基础上还要求边的权重和最小。通过Prim算法和Kruskal算法，我们可以高效地解决最小生成树问题。Prim算法适用于稠密图，而Kruskal算法则更适合稀疏图。在实际应用中，最小生成树被广泛用于网络设计、通信系统规划、输电线路布局等领域。在实际工程中，最小生成树的求解不仅能降低系统的成本，还能提高资源的利用效率。通过使用适当的算法和数据结构，我们能够快速且准确地求解最小生成树问题。
浙公网安备 33010602011771号