随机服务系统模拟(三)——M/M/c仿真R实现
M/M/c 排队系统是一种 多重服务器排队模型，其中顾客到达和服务时间均服从指数分布。该模型适用于多个服务窗口并行工作的场景，如银行柜台、呼叫中心、医疗诊所等。系统包含 c 个服务器，可以同时处理多个顾客，服务规则通常为 先到先服务（FCFS）。M/M/c 广泛应用于 银行、医疗、交通、客服中心、供应链管理 等领域，可用于优化人力资源配置、降低客户等待时间，提高系统效率，在经济管理中具有重要价值。
0、M/M/c随机服务系统
M/M/c 排队系统是一种经典的多重服务器（Multi-server）随机服务系统，广泛应用于 银行柜台、呼叫中心、医院门诊、交通管理 等场景。
0.1 系统特征
该系统属于 泊松到达、指数服务时间的排队模型，核心特征包括：
- 泊松到达（Poisson Process）： 顾客的到达间隔时间服从指数分布，平均到达率为 λ；
- 指数服务时间（Exponential Service Time）： 每个服务器的服务时间服从指数分布，平均服务率为 μ；
- c 个服务器（c Servers）： 系统包含 c 个并行工作的服务器，可同时为多个顾客提供服务；
- 先到先服务（FCFS）： 顾客按照 先来先服务 的原则接受服务；
- 无限等待空间： 假设系统中可以容纳无限多个等待的顾客；
- 稳态条件： 系统需满足 ρ = λ / (cμ) < 1，即服务器的总服务能力大于到达速率，否则排队长度会无限增长，系统无法稳定运行。
M/M/c 系统的计算主要涉及 队列长度、等待时间、服务器利用率 等关键指标，以衡量系统的服务效率和客户体验。
0.2 系统绩效指标
Little 公式是排队论中的基本公式，适用于 稳态排队系统
- L：系统中的平均顾客数；
- λ：顾客到达率（单位时间内的平均到达人数）；
- W：顾客在系统中的平均逗留时间（包括排队和服务时间）。
在 M/M/c 系统中，常见的 Little 公式指标包括：
（1）系统中顾客平均数（\(L_s\)）
表示系统内的总顾客数，包括正在接受服务的顾客和排队等待的顾客。
（2）队列中顾客平均数（Lq）
其中 \(ρ = λ / (cμ)\)，表示服务器的平均利用率。\(L_q\)反映了队列中平均等待的顾客数。
（3）系统中顾客的平均等待时间（\(W_s\)）
表示顾客从进入系统到完成服务所需的平均时间。
（4）队列中的平均等待时间（\(W_q\)）
表示顾客在队列中等待服务的平均时间。
（5）系统空闲概率（\(P_0\)）
表示所有服务器均为空闲的概率。
（6）服务器利用率（\(ρ\)）
表示服务器的平均繁忙程度，若 \(ρ < 1\)，系统可保持稳定。
通过 M/M/c 系统分析，可以合理规划 服务器数量，优化资源配置，提高服务质量，减少客户等待时间，提高系统的整体效率。
一、M/M/c随机服务系统的模拟
在M/M/c排队系统中，服务台为c个。设系统的到达率为λ，每个用户的服务率为μ。当系统的用户数n>c时，用户离开的速率为cμ,（因为只有c个服务员），当n≤c时，用户离开速率为nμ（因为顾客数小于服务员数）。此时的系统状态（既系统中的用户数）转移图如下图所示。
1.1 系统的理论绩效指标
模型参数符号说明
| 参数 | 平均到达率 | 平均服务率 | 系统服务强度 | 系统空闲概率 | 系统平均顾客数 | 队列平均人数 | 平均逗留时间 | 平均等待时间 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 符号 | \(\lambda\) | \(\mu\) | \(\frac {\lambda}{c\times\mu}\) | \(P_0\) | \(L_s\) | \(L_q\) | \(W_s\) | \(W_q\) |
R计算程序
Lambda <-9
Mue <-4
c=3
Rho <- Lambda / Mue
P0inv <- Rho^c /(factorial(c)*(1-(Rho/c)))
for (i in 0:(c-1)) {
P0inv = P0inv +(Rho^i)/ factorial(i)
}
P0 =1/P0inv
Lq=P0*(Rho^c*Rho/c)/(factorial(c)*(1-(Rho/c))^2)
Wq =Lq/Lambda
Ls <- Lq+Rho
Ws <- Ls/Lambda
R计算结果
| 参数 | 平均到达率 | 平均服务率 | 系统服务强度 | 系统空闲概率 | 系统平均顾客数 | 队列平均人数 | 平均逗留时间 | 平均等待时间 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 符号 | \(\lambda\) | \(\mu\) | \(\frac {\lambda}{c\times\mu}\) | \(P_0\) | \(L_s\) | \(L_q\) | \(W_s\) | \(W_q\) |
| 理论值 | 9 | 4 | 0.75 | 0.0748 | 3.9533 | 1.7033 | 0.4393 | 0.1893 |
1.2 系统的R模拟仿真
R模型构建
library(dplyr)
library(simmer)
library(simmer.plot)
T0=10
T1=10000
lambda=9
mu=4
c=3
set.seed(1234)
## 建立模拟环境
bank <- simmer("bank")
## 用trajectory()建立顾客，并指定顾客的一系列活动
## seize()获取柜台服务资源，如果正在忙，就进入排队
## 服务时间用timeout指定，为了生成多个随机服务时间，
## timeout的参数是返回随机服务时间的而函数而不是时间值本身
customer <-
trajectory("顾客") %>%
seize("柜台") %>%
timeout( function() rexp(1, mu)) %>%
release("柜台")
## 用add_resource生成柜台资源
## 用add_generator()生成顾客到来列
bank %>%
add_resource("柜台",capacity=c) %>%
add_generator("顾客", customer, function() {rexp(1, lambda)} )
## 用run()执行模拟到指定结束时刻
bank %>%
run(until=T1)
R计算程序
## 用get_mon_arrivals()获取各个顾客到来的时间、离开时间、活动时间等，结果是数据框
## 用dplyr::mutate()对数据框增加新变量
resd <- bank %>%
get_mon_arrivals() %>%
dplyr::mutate(waiting_time = end_time - start_time - activity_time,
stay_time = end_time - start_time)
stay_times <- resd %>%
dplyr::filter(start_time >= T0, end_time < T1) %>%
dplyr::select(stay_time)
ER <- mean(stay_times[[1]])
ER.true <- 0.4393
cat('模拟的平均逗留时间ER=', ER,
' 期望值=', ER.true, '\n')
R计算结果
cat('模拟的平均逗留时间ER=', ER,' 期望值=', ER.true, '\n')
模拟的平均逗留时间ER= 0.4537 期望值= 0.4393
1.3 R模拟可视化
mon1=get_mon_arrivals(bank)
head(mon1,6)
name start_time end_time activity_time finished replication
1 顾客0 0.2779732 0.2796187 0.001645489 TRUE 1
2 顾客1 0.3053908 0.4021865 0.096795646 TRUE 1
3 顾客2 0.4990293 0.7050497 0.206020379 TRUE 1
4 顾客3 0.5090237 0.7185338 0.209510080 TRUE 1
5 顾客4 0.5315368 1.0015560 0.470019170 TRUE 1
6 顾客5 0.6160291 1.1197153 0.414665596 TRUE 1
mon = get_mon_resources(bank)
aggregate(cbind(server, queue) ~ resource, mon, mean)
library(ggplot2)
ggplot(mon, aes(x=server, fill=resource)) +
geom_histogram(binwidth = 0.5) +
facet_grid(.~resource, scales = 'free')
二、总结
随机服务系统的仿真主要用于评估不同排队系统（如 M/M/1、M/M/c）的性能，以优化资源配置，提高系统效率。通过计算机模拟，能够分析 顾客到达、服务时间、排队情况 等关键变量，进而评估系统在不同负载下的表现。仿真结果通常关注以下指标：
- 平均等待时间（\(W_q\)）：衡量顾客在队列中的平均等待时长；
- 系统平均停留时间（\(W_s\)）：顾客从进入到离开系统的总时间；
- 系统平均人数（\(L_s\)）：队列和服务台中的总顾客数；
- 服务器利用率（\(ρ\)）：衡量资源使用效率，确保 \(ρ < 1\) 以维持稳定运行。
随机服务系统仿真应用广泛，例如：
- 银行与客服中心 通过调整服务器数量优化顾客体验；
- 交通管理 评估收费站、机场安检的排队效率；
- 医疗系统 通过优化医生排班降低患者等待时间。
通过仿真，可以量化不同策略的影响，优化资源配置，降低成本，提高系统的整体服务水平，为经济管理决策提供数据支持。
参考文献
1.(Simmer 2019带你飞 )[https://www.sohu.com/a/344940911_100040805]
2.(Simmer仿真平台高级使用技巧)[https://segmentfault.com/a/1190000019820794]
浙公网安备 33010602011771号