Day6T1

容易想到一个dp：
记\(dp_{i,j,0}\)表示考虑到第\(i\)个数，其值为\(j\)，正处于平地。
记\(dp_{i,j,1}\)表示考虑到第\(i\)个数，其值为\(j\)，正处于上坡的中间（即不能再上升了）。
记\(dp_{i,j,2}\)表示考虑到第\(i\)个数，其值为\(j\)，正处于下坡的中间（同理）。
转移的时候，平地只能从\(j\)相同的平地转移而来，上坡可以从\(j\)更小的平地或下坡转移，下坡同理。
具体实现时还需要将\(a\)离散化（这里不妨猜一下\(j\)只有可能取\(\{x|\exists i\in [1,n],x\in [a_i-1,a_i+1]\}\)中的值）。
代码如下，时间复杂度\(O(n^2)\)：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
int a[N],b[N*3],tp;
long long dp[3][N*3],lmn[2][N*3],rmn[2][N*3];
void remn(){
	lmn[0][0] = dp[0][0],lmn[1][0] = dp[2][0];
	for(int j=1;j<=tp;j++) lmn[0][j] = min(lmn[0][j-1],dp[0][j]),lmn[1][j] = min(lmn[1][j-1],dp[2][j]);
	rmn[0][tp] = dp[0][tp],rmn[1][tp] = dp[1][tp];
	for(int j=tp-1;j>=0;j--) rmn[0][j] = min(rmn[0][j+1],dp[0][j]),rmn[1][j] = min(rmn[1][j+1],dp[1][j]);
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		b[i*3-2] = a[i]-1;
		b[i*3-1] = a[i];
		b[i*3] = a[i]+1;
	}
	sort(b+1,b+n*3+1);
	tp = 1;
	for(int i=2;i<=n*3;i++) if(b[i]!=b[i-1]) b[++tp] = b[i];
	memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
	for(int i=0;i<=tp;i++) dp[0][i] = abs(a[1]-b[i]);
	remn();
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=tp;j++){
			if(j!=0){
				dp[1][j] = min(dp[1][j],lmn[0][j-1]);
				dp[1][j] = min(dp[1][j],lmn[1][j-1]);
			}
			if(j!=tp){
				dp[2][j] = min(dp[2][j],rmn[0][j+1]);
				dp[2][j] = min(dp[2][j],rmn[1][j+1]);
			}
			dp[0][j]+=abs(a[i]-b[j]);
			dp[1][j]+=abs(a[i]-b[j]);
			dp[2][j]+=abs(a[i]-b[j]);
		}
		remn();
	}
	cout<<min(rmn[1][0],min(lmn[0][tp],lmn[1][tp]));
	
	return 0;
} 

---

不妨再猜一下，考虑到第\(i\)个数时，\(j\)只可能取\(\{x|\exists j\in [\max\{j-2,1\},\min\{j+2,n\}],x\in [a_j-1,a_j+1]\}\)中的值，然后时间复杂度就变成了\(O(n)\)...
我想到一个绝妙的证明，但是这里太小，写不开。
其实就是写在代码后面了...
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
const int K = 2;
int a[N],tp;
long long dp[3][2][15];
vector<int> val[N];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		for(int j=max(1,i-K);j<=min(n,i+K);j++) for(int l=-1;l<=1;l++) val[j].emplace_back(a[i]+l);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		sort(val[i].begin(),val[i].end());
		val[i].erase(unique(val[i].begin(),val[i].end()),val[i].end());
	}
	memset(dp,0x7f,sizeof(dp));
	for(int i=0;i<val[1].size();i++) dp[0][1][i] = abs(a[1]-val[1][i]);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		long long mn = 0x7f7f7f7f7f7f7f7fll;
		for(int j=0,ptr=0;j<val[i].size();j++){
			while(ptr<val[i-1].size()&&val[i-1][ptr]<val[i][j]){
				mn = min(mn,dp[0][i&1^1][ptr]);
				mn = min(mn,dp[2][i&1^1][ptr++]);
			}
			if(val[i-1][ptr]==val[i][j]){
				dp[1][i&1][j] = min(mn,dp[1][i&1^1][ptr])+abs(a[i]-val[i][j]);
				dp[0][i&1][j] = dp[0][i&1^1][ptr]+abs(a[i]-val[i][j]);
			}
			else{
				dp[0][i&1][j] = 0x7f7f7f7f7f7f7f7fll;
				dp[1][i&1][j] = mn+abs(a[i]-val[i][j]);
			}
		}
		mn = 0x7f7f7f7f7f7f7f7fll;
		for(int j=val[i].size()-1,ptr=val[i-1].size()-1;j>=0;j--){
			while(ptr>=0&&val[i-1][ptr]>val[i][j]){
				mn = min(mn,dp[0][i&1^1][ptr]);
				mn = min(mn,dp[1][i&1^1][ptr--]);
			}
			if(val[i-1][ptr]==val[i][j]) dp[2][i&1][j] = min(mn,dp[2][i&1^1][ptr])+abs(a[i]-val[i][j]);
			else dp[2][i&1][j] = mn+abs(a[i]-val[i][j]);
		}
	}
    long long ans = 0x7f7f7f7f7f7f7f7fll;
    for(int i=0;i<val[n].size();i++) for(int k=0;k<3;k++) ans = min(ans,dp[k][n&1][i]);
    cout<<ans;

	return 0;
}

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这里只证明第二个猜测，容易发现其是第一个猜测的充分条件。