Day59-图论，卡码网47，94
- 参加科学大会（第六期模拟笔试）
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题目描述：小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。小明的起点是第一个车站，终点是最后一个车站。然而，途中的各个车站之间的道路状况、交通拥堵程度以及可能的自然因素（如天气变化）等不同，这些因素都会影响每条路径的通行时间。小明希望能选择一条花费时间最少的路线，以确保他能够尽快到达目的地。
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输入描述：第一行包含两个正整数，第一个正整数 N 表示一共有 N 个公共汽车站，第二个正整数 M 表示有 M 条公路。 接下来为 M 行，每行包括三个整数，S、E 和 V，代表了从 S 车站可以单向直达 E 车站，并且需要花费 V 单位的时间。
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输出描述：输出一个整数，代表小明从起点到终点所花费的最小时间。
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输入示例
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7 9
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1 2 1
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1 3 4
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2 3 2
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2 4 5
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3 4 2
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4 5 3
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2 6 4
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5 7 4
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6 7 9
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输出示例
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12
- 思路
- 堆优化细节，思路依然是 dijkstra 三部曲：
- 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
- 第二步，该最近节点被标记访问过
- 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
- 只不过之前是 通过遍历节点来遍历边，通过两层for循环来寻找距离源点最近节点。 这次直接遍历边，且通过堆来对边进行排序，达到直接选择距离源点最近节点。有了小顶堆自动对边的权值排序，只需要直接从 堆里取堆顶元素（小顶堆中，最小的权值在上面），就可以取到离源点最近的节点了
class PriorityQueue {
constructor(comparator) {
this.heap = [];
this.comparator = comparator || ((a, b) => a[1] - b[1]);
}
push(item) {
this.heap.push(item);
this.heap.sort(this.comparator);
}
pop() {
return this.heap.shift();
}
top() {
return this.heap[0];
}
empty() {
return this.heap.length === 0;
}
}
async function main() {
const readline = require('readline');
const rl = readline.createInterface({
input: process.stdin,
output: process.stdout
});
const lines = [];
for await (const line of rl) {
lines.push(line);
}
// 解析输入
const [n, m] = lines[0].split(' ').map(Number);
// 构建邻接表
const grid = new Array(n + 1).fill().map(() => []);
for (let i = 1; i <= m; i++) {
const [p1, p2, val] = lines[i].split(' ').map(Number);
grid[p1].push({ to: p2, val });
}
const start = 1; // 起点
const end = n; // 终点
// 存储从源点到每个节点的最短距离
const minDist = new Array(n + 1).fill(Number.MAX_SAFE_INTEGER);
// 记录顶点是否被访问过
const visited = new Array(n + 1).fill(false);
// 优先队列 (小顶堆)
const pq = new PriorityQueue((a, b) => a[1] - b[1]);
// 初始化队列，源点到源点的距离为0
pq.push([start, 0]);
minDist[start] = 0;
while (!pq.empty()) {
// 1. 获取当前距离起点最近的节点
const [currentNode, currentDist] = pq.pop();
if (visited[currentNode]) continue;
// 2. 标记当前节点为已访问
visited[currentNode] = true;
// 3. 更新邻接节点的最短距离
for (const edge of grid[currentNode]) {
const neighbor = edge.to;
const weight = edge.val;
if (!visited[neighbor] && minDist[currentNode] + weight < minDist[neighbor]) {
minDist[neighbor] = minDist[currentNode] + weight;
pq.push([neighbor, minDist[neighbor]]);
}
}
}
// 输出结果
if (minDist[end] === Number.MAX_SAFE_INTEGER) {
console.log(-1); // 不能到达终点
} else {
console.log(minDist[end]); // 到达终点的最短路径长度
}
}
main();
- 城市间货物运输 I
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题目描述：某国为促进城市间经济交流，决定对货物运输提供补贴。共有 n 个编号为 1 到 n 的城市，通过道路网络连接，网络中的道路仅允许从某个城市单向通行到另一个城市，不能反向通行。网络中的道路都有各自的运输成本和政府补贴，道路的权值计算方式为：运输成本 - 政府补贴。权值为正表示扣除了政府补贴后运输货物仍需支付的费用；权值为负则表示政府的补贴超过了支出的运输成本，实际表现为运输过程中还能赚取一定的收益。请找出从城市 1 到城市 n 的所有可能路径中，综合政府补贴后的最低运输成本。如果最低运输成本是一个负数，它表示在遵循最优路径的情况下，运输过程中反而能够实现盈利。城市 1 到城市 n 之间可能会出现没有路径的情况，同时保证道路网络中不存在任何负权回路。
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输入描述：第一行包含两个正整数，第一个正整数 n 表示该国一共有 n 个城市，第二个整数 m 表示这些城市中共有 m 条道路。 接下来为 m 行，每行包括三个整数，s、t 和 v，表示 s 号城市运输货物到达 t 号城市，道路权值为 v （单向图）。
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输出描述：如果能够从城市 1 到连通到城市 n， 请输出一个整数，表示运输成本。如果该整数是负数，则表示实现了盈利。如果从城市 1 没有路径可达城市 n，请输出 "unconnected"。
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输入示例
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6 7
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5 6 -2
-
1 2 1
-
5 3 1
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2 5 2
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2 4 -3
-
4 6 4
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1 3 5
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输出示例
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1
- 思路
- Bellman_ford算法的核心思想是 对所有边进行松弛n-1次操作（n为节点数量），从而求得目标最短路
if (minDist[B] > minDist[A] + value) minDist[B] = minDist[A] + value。使用minDist数组来表达 起点到各个节点的最短距离，例如minDist[3] = 5 表示起点到达节点3 的最小距离为5。对所有边松弛一次，相当于计算 起点到达 与起点一条边相连的节点 的最短距离。对所有边松弛 n-1 次 就一定能得到 起点到达 终点的最短距离。
async function main() {
const readline = require('readline');
const rl = readline.createInterface({
input: process.stdin,
output: process.stdout
});
const lines = [];
for await (const line of rl) {
lines.push(line);
}
// 解析输入
const [n, m] = lines[0].split(' ').map(Number);
// 存储所有边
const edges = [];
for (let i = 1; i <= m; i++) {
const [p1, p2, val] = lines[i].split(' ').map(Number);
edges.push([p1, p2, val]);
}
const start = 1; // 起点
const end = n; // 终点
// 初始化最短距离数组
const minDist = new Array(n + 1).fill(Number.MAX_SAFE_INTEGER);
minDist[start] = 0; // 起点到自身的距离为0
// Bellman-Ford算法核心
for (let i = 1; i < n; i++) { // 最多进行n-1次松弛
let updated = false;
for (const [from, to, price] of edges) {
// 松弛操作
if (minDist[from] !== Number.MAX_SAFE_INTEGER &&
minDist[to] > minDist[from] + price) {
minDist[to] = minDist[from] + price;
updated = true;
}
}
// 如果没有更新，提前终止
if (!updated) break;
}
// 输出结果
if (minDist[end] === Number.MAX_SAFE_INTEGER) {
console.log('unconnected'); // 不能到达终点
} else {
console.log(minDist[end]); // 到达终点的最短路径
}
}
main();
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