Day42-动态规划，leetcode188，309，714

188. 买卖股票的最佳时机 IV

• 给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。
• 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
• 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

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• 思路

• 1.确定dp数组定义及下标的含义： dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]，其中j的状态有：0 表示不操作，1 表示第一次买入，2表示第一次卖出，3 表示第二次买入，4 表示第二次卖出，除0外，奇数买入，偶数卖出
• 2.确定递推公式：

• dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，可能是第i天买的，也可能是第i天之前就买了，即达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]；操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]；选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
• dp[i][2]也有两个操作：操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]；操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]；所以dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
• dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
• dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);

• 3.dp数组如何初始化：

• 第0天没有操作，即：dp[0][0] = 0;
• 第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
• 第0天做第一次卖出的操作，当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
• 第0天第二次买入操作，第二次买入依赖于第一次卖出的状态，相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
• 第0天做第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
• dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

• 4.确定遍历顺序：从前往后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
• 5.举例推导dp数组，打印dp数组：

// 动态规划
const maxProfit = (k,prices) => {
    if (prices == null || prices.length < 2 || k == 0) {
        return 0;
    }
   // dp数组的初始化,第 0 天，所有买入状态都初始化为 -prices[0]（即买入股票后手里的现金），其他状态默认是 0。
    let dp = Array.from(Array(prices.length), () => Array(2*k+1).fill(0));
    for (let j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
        dp[0][j] = 0 - prices[0];
    }
    // 股票状态: 奇数表示第 k 次交易持有/买入, 偶数表示第 k 次交易不持有/卖出, 0 表示没有操作
    /**
     * 外层循环遍历每一天 i。
     * 内层循环每次处理一对买入/卖出状态（j+1 买入，j+2 卖出）。
     * 买入状态转移：
        dp[i][j+1] = Math.max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i])
            不买入，继承昨天的买入状态 dp[i-1][j+1]
            买入，昨天是上一次卖出状态 dp[i-1][j]，今天买入花掉 prices[i]
     * 卖出状态转移：
         dp[i][j+2] = Math.max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i])
            不卖出，继承昨天的卖出状态 dp[i-1][j+2]
            卖出，昨天是买入状态 dp[i-1][j+1]，今天卖出赚到 prices[i]
     */
    for(let i = 1; i < prices.length; i++) {
        for (let j = 0; j < 2 * k; j += 2) {
            dp[i][j+1] = Math.max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i]);
            dp[i][j+2] = Math.max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i]);
        }
    }
    // 最后一天，最后一次卖出后的最大现金就是答案。
    return dp[prices.length - 1][2 * k];
};

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309. 买卖股票的最佳时机含冷冻期

• 给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​
• 设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
• 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

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• 思路

• 1.确定dp数组定义及下标的含义：dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。状态分为四种：0，状态一，持有股票状态；1，状态二，保持卖出股票的状态；2，状态三，今天卖出股票；3，状态四，今天为冷冻期状态
• 2.确定递推公式：

• 达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
• 操作二：今天买入了，有两种情况：1. 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]；2. 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]
• 那么dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);

• 达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是状态二
• 操作二：前一天是冷冻期（状态四）
• dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

• 达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

• 昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出
• 即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

• 达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

• 昨天卖出了股票（状态三）
• dp[i][3] = dp[i - 1][2];

dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
dp[i][3] = dp[i - 1][2];

• 3.dp数组如何初始化：第0天如何初始化，

• 如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。
• dp[0][1] = 0，dp[0][2] = 0，dp[0][3] = 0。

• 4.确定遍历顺序：dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历
• 5.举例推导dp数组，打印dp数组：

/**
 * 1. dp数组定义
    dp[i][0]：第i天持有股票的最大现金
    dp[i][1]：第i天保持卖出股票状态的最大现金
    dp[i][2]：第i天刚卖出股票的最大现金
    dp[i][3]：第i天处于冷冻期的最大现金
 * 2. 初始化
    第0天持有股票：dp[0][0] = -prices[0]
    其他状态为0
 * 3. 状态转移
    dp[i][0]：今天持有股票，可能是昨天就持有，或昨天卖出/冷冻后今天买入
    dp[i][1]：今天保持卖出状态，可能是昨天就卖出或昨天冷冻
    dp[i][2]：今天刚卖出股票，只能由昨天持有股票卖出
    dp[i][3]：今天冷冻，只能由昨天刚卖出股票进入
 * 4. 返回结果
    最后一天可能处于冷冻、保持卖出、当天卖出三种状态，取最大值
 */
function maxProfit(prices) {
    const n = prices.length;
    if (n === 0) return 0;
    // dp[i][0]: 持有股票
    // dp[i][1]: 保持卖出股票状态
    // dp[i][2]: 今天卖出股票
    // dp[i][3]: 冷冻期
    const dp = Array.from({ length: n }, () => Array(4).fill(0));
    dp[0][0] = -prices[0]; // 第0天持有股票
    // 其余状态默认0

    for (let i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = Math.max(
            dp[i - 1][0],
            dp[i - 1][3] - prices[i],
            dp[i - 1][1] - prices[i]
        ); // 持有股票
        dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]); // 保持卖出状态
        dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]; // 今天卖出
        dp[i][3] = dp[i - 1][2]; // 冷冻期
    }
    // 最后一天可能处于冷冻、保持卖出、当天卖出三种状态，取最大
    return Math.max(dp[n - 1][3], dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]);
}

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714. 买卖股票的最佳时机含手续费

• 给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。返回获得利润的最大值。
• 注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

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• 思路

• 1.确定dp数组定义及下标的含义：dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
• 2.确定递推公式：

• 如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
• 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
• 所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);

• 如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee
• 所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);

• 3.dp数组如何初始化：dp[0][0] = 0 - prices[0]，第0天买入股票，现金为负；dp[0][1] = 0，第0天不持有股票，现金为0
• 4.确定遍历顺序：
• 5.举例推导dp数组，打印dp数组：

/**
 * 1. dp数组定义
    dp[i][0]：第 i 天持有股票时的最大现金。
    dp[i][1]：第 i 天不持有股票时的最大现金。
 * 2. 初始化
    dp[0][0] = 0 - prices[0]; // 第0天买入股票，现金为负
    dp[0][1] = 0;             // 第0天不持有股票，现金为0
 * 3. 状态转移
    持有股票（dp[i][0]）
        昨天就持有股票：dp[i - 1][0]
        昨天不持有，今天买入：dp[i - 1][1] - prices[i]
        取最大：dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])
    不持有股票（dp[i][1]）
        昨天就不持有股票：dp[i - 1][1]
        昨天持有，今天卖出（要扣手续费）：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee
        取最大：dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee)
 * 4. 返回结果
    最后一天可能持有或不持有股票，取最大值：
 */
const maxProfit = (prices,fee) => {
    let dp = Array.from(Array(prices.length), () => Array(2).fill(0));
    dp[0][0] = 0 - prices[0];
    for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
        dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
        dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i] - fee, dp[i - 1][1]);
    }
    return Math.max(dp[prices.length - 1][0], dp[prices.length - 1][1]);
}
/**
 * let dp = Array.from(Array(prices.length), () => Array(2).fill(0));可以拆解为以下几步理解：
 * 1. 创建一个长度为 prices.length 的数组，Array(prices.length)，生成一个长度等于天数（股票价格数组长度）的空数组。
 * 2. 对每一天，分配一个长度为 2 的数组，Array.from(Array(prices.length), () => Array(2).fill(0))
    Array.from(原数组, 映射函数) 会对每个元素执行一次映射函数。
    这里每一天都分配一个 [0, 0] 的数组，表示当天的两种状态。
 * 3. 每个子数组含义
    dp[i][0]：第 i 天持有股票时的最大现金
    dp[i][1]：第 i 天不持有股票时的最大现金
 * 4. 结构示例
    假设 prices.length = 5，dp 的结构如下：
    [
        [0, 0], // 第0天：[持有，不持有]
        [0, 0], // 第1天
        [0, 0], // 第2天
        [0, 0], // 第3天
        [0, 0]  // 第4天
    ]
 */

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参考&感谢各路大神

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