Day41-动态规划，leetcode121，122，123

121. 买卖股票的最佳时机

• 给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
• 你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
• 返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

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• 思路

• 1.确定dp数组定义及下标的含义：dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金，dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
• 2.确定递推公式：如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来，第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]，第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]，那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i])，如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来，第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]，第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]，同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0])
• 3.dp数组如何初始化：dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，dp[0][0] -= prices[0]，dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0
• 4.确定遍历顺序：dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。
• 5.举例推导dp数组，打印dp数组：

// 动态规划
const maxProfit = prices => {
    const len = prices.length;
    // 创建dp数组
    const dp = new Array(len).fill([0, 0]);
    // dp数组初始化
    dp[0] = [-prices[0], 0];
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        // 更新dp[i]
        dp[i] = [
            Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]),
            Math.max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]),
        ];
    }
    return dp[len - 1][1];
};

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122. 买卖股票的最佳时机 II

• 给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
• 在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。
• 返回 你能获得的 最大 利润 。

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• 思路

• 1.确定dp数组定义及下标的含义：dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来，第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]，第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来，第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]，第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]。
• 2.确定递推公式： dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
• 3.dp数组如何初始化：dp[0][0] -= prices[0]; dp[0][1] = 0;
• 4.确定遍历顺序：从前往后
• 5.举例推导dp数组，打印dp数组：

// 方法一：动态规划（dp 数组）
const maxProfit = (prices) => {
    let dp = Array.from(Array(prices.length), () => Array(2).fill(0));
    // dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
    // dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
    dp[0][0] = 0 - prices[0];
    dp[0][1] = 0;
    for(let i = 1; i < prices.length; i++) {
        // 如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
        // 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
        // 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
        dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);
        
        // 在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来
        // 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
        // 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
        dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);
    }

    return dp[prices.length -1][1];
};

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123. 买卖股票的最佳时机 III

• 给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
• 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
• 注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

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• 思路

• 1.确定dp数组定义及下标的含义：一天可能有5个状态：

• 0 没有操作；
• 1 第一次持有股票；
• 2 第一次不持有股票；
• 3 第二次持有股票；
• 4 第二次不持有股票。
• dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

• 2.确定递推公式：

• 达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]；
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]；
• 取最大值，dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

• dp[i][2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]
• 所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

• 同理可推出剩下状态部分：

• dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
• dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

• 3.dp数组如何初始化：

• 第0天没有操作，就是0，即：dp[0][0] = 0;
• 第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
• 第0天第二次买入操作，第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
• 同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

• 4.确定遍历顺序：从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
• 5.举例推导dp数组，打印dp数组：

const maxProfit = prices => {
    const len = prices.length;
    const dp = new Array(len).fill(0).map(x => new Array(5).fill(0));
    dp[0][1] = -prices[0];
    dp[0][3] = -prices[0];
    for (let i = 1; i < len; i++) {
        dp[i][0] = dp[i - 1][0];
        dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
        dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
        dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
        dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
    }
    return dp[len - 1][4];
};

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参考&感谢各路大神

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