Day36-动态规划，leetcode1049，494，474

1049. 最后一块石头的重量 II

• 有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。
• 每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
  • 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
  • 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
• 最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

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• 思路
• 01背包应用：尽量装满背包
• 把总石头分成重量总和近似相等的两堆，让重量相同的两堆相撞，这样相撞后的值最小
• 一堆的石头重量是sum，尽可能拼成 重量为 sum / 2 的石头堆。 这样剩下的石头堆也是 尽可能接近 sum/2 的重量。 那么此时问题就是有一堆石头，每个石头都有自己的重量，是否可以 装满 最大重量为 sum / 2的背包。

• 1.确定dp数组定义及下标的含义：dp[j]表示容量为j的背包，最多可以背最大重量为dp[j]。
• 2.确定递推公式：第j个石头装还是不装，取大者，dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])
• 3.dp数组如何初始化：1 <= stones.length <= 30，1 <= stones[i] <= 100，所以最大重量就是30 * 100 。target是最大重量的一半，所以dp数组开到1500大小就可以了。也可以把石头遍历一遍，计算出石头总重量 然后除2，得到dp数组的大小
• 4.确定遍历顺序：如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历。
• 5.举例推导dp数组，打印dp数组：

/**
 * 本质是把石头分成两堆，重量差最小。
 * 转化为 01 背包问题，求最接近 sum/2 的一堆。
 * 最终返回两堆重量的差值。
 */
var lastStoneWeightII = function(stones) {
    // 计算总重量和目标重量
    // sum：所有石头的总重量。
    // target：我们希望分成两堆，每堆尽量接近 sum/2，这样剩下的差值最小。
    let sum = stones.reduce((a, b) => a + b, 0);
    let target = Math.floor(sum / 2);
    // 定义dp数组，dp[j] 表示：在容量为 j 的背包里，最多能装的石头总重量是多少（01背包问题）
    let dp = new Array(target + 1).fill(0);

    // 01背包
    /**
     * 外层循环遍历每块石头。
    内层循环倒序遍历背包容量，从 target 到 stones[i]。
    状态转移方程：dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i])，表示当前容量 j，要么不选当前石头（dp[j]），要么选当前石头（dp[j - stones[i]] + stones[i]），取最大值。
     */
    for (let i = 0; i < stones.length; i++) {
        for (let j = target; j >= stones[i]; j--) {
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);
        }
    }
    // 返回最小剩余重量
    /**
     * dp[target] 是最接近 sum/2 的一堆石头的总重量。
    另一堆就是 sum - dp[target]。
    两堆的差值是 sum - 2 * dp[target]，即剩下的最小可能重量。
     */
    return sum - dp[target] - dp[target];
};

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494. 目标和

• 给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。
• 向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。
• 返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

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• 思路

• 01背包应用：装满这个背包有多少种方法

• 二维数组

• 1.确定dp数组定义及下标的含义：dp[i][j]：使用 下标为[0, i]的nums[i]能够凑满j（包括j）这么大容量的包，有dp[i][j]种方法。
• 2.确定递推公式：不放物品i：即背包容量为j，里面不放物品i，装满有dp[i - 1][j]中方法。放物品i： 即：先空出物品i的容量，背包容量为（j - 物品i容量），放满背包有 dp[i - 1][j - 物品i容量] 种方法。递推公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]，j - nums[i] 作为数组下标，如果 j - nums[i] 小于零，说明背包容量装不下 物品i，所以此时装满背包的方法值 等于 不放物品i的装满背包的方法，即：dp[i][j] = dp[i - 1][j];
• 3.dp数组如何初始化：先明确递推的方向， dp[i][j] 是由 上方和左上方推出，那么二维数组的最上行 和 最左列一定要初始化，这是递推公式推导的基础。dp[0][0]，装满背包容量为0 的方法数量是1，即 放0件物品。dp[0][j]：只放物品0， 把容量为j的背包填满有几种方法。只有背包容量为 物品0 的容量的时候，方法为1，正好装满。其他情况下，要不是装不满，要不是装不下。所以初始化：dp[0][nums[0]] = 1 ，其他均为0 。表格最左列也要初始化，dp[i][0] : 背包容量为0， 放物品0 到 物品i，装满有几种方法。都是有一种方法，就是放0件物品。即 dp[i][0] = 1。如果有两个物品，物品0为0， 物品1为0，装满背包容量为0的方法有几种。放0件物品
  、放物品0、放物品1、放物品0 和 物品1，此时是有4种方法。其实就是算数组里有t个0，然后按照组合数量求，即 2^t 。
• 4.确定遍历顺序： 从上到下，从左到右，才能基于之前的数值做推导。先遍历物品（行）还是先遍历背包（列）都可以
• 5.举例推导dp数组，打印dp数组：

/*
1. 问题转化
  把加减号问题转化为“选取一部分数，使其和为 bagSize”，即 01 背包问题。
  bagSize = (target + sum) / 2，如果不为整数或超界，直接返回 0。
2. dp数组定义
  dp[i][j]：前 i 个数，和为 j 的方案数。
3. 初始化
  dp[0][0] = 1：前0个数，和为0的方法只有1种（都不选）。
  dp[0][nums[0]] = 1：如果第一个数不为0，可以单独选它。
  处理前面有0的情况，0可以选或不选，方法数翻倍。
4. 状态转移
  不选当前数：dp[i][j] = dp[i-1][j]
  选当前数：dp[i][j] += dp[i-1][j-nums[i]]（如果 j >= nums[i]）
5. 返回结果
  dp[nums.length - 1][bagSize]，即所有数都用上，和为 bagSize 的方案数。

本题用二维动态规划，转化为“装满背包有多少种方法”，核心是 01 背包计数型动态规划。
*/
function findTargetSumWays(nums, target) {
    const sum = nums.reduce((a, b) => a + b, 0);
    if (Math.abs(target) > sum) return 0; // 绝对值大于总和，无解
    if ((target + sum) % 2 === 1) return 0; // 奇偶性不符，无解
    const bagSize = (target + sum) / 2;

    // dp[i][j]：前i个数，和为j的方法数
    const dp = Array.from({ length: nums.length }, () => Array(bagSize + 1).fill(0));

    // 初始化最上行
    if (nums[0] <= bagSize) dp[0][nums[0]] = 1;
    dp[0][0] = 1;

    // 处理前面有0的情况
    let numZero = 0;
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (nums[i] === 0) numZero++;
        dp[i][0] = Math.pow(2, numZero);
    }

    // 动态规划填表
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        for (let j = 0; j <= bagSize; j++) {
            if (nums[i] > j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
            }
        }
    }
    return dp[nums.length - 1][bagSize];
}

• 一维数组

• 1.确定dp数组定义及下标的含义：dp[j]，表示：填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[j]种方法
• 2.确定递推公式：

• 二维DP数组递推公式： dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]];
• 去掉维度i 之后，递推公式：dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]] ，即：dp[j] += dp[j - nums[i]]

• 3.dp数组如何初始化：dp[0]=0，即装满背包为0的方法有一种，放0件物品。
• 4.确定遍历顺序：遍历物品放在外循环，遍历背包在内循环，且内循环倒序（为了保证物品只使用一次）
• 5.举例推导dp数组，打印dp数组：

/**
1. 问题转化
  把加减号问题转化为“选取一部分数，使其和为 bagSize”，即 01 背包计数问题。
  bagSize = (target + sum) / 2，如果不为整数或超界，直接返回 0。
2. dp数组定义
  dp[j]：填满容量为 j 的背包有多少种方法。
3. 初始化
  dp[0] = 1：容量为0的方法只有1种（什么都不选）。
4. 状态转移
  对每个数，从大到小遍历背包容量 j。
  dp[j] += dp[j - nums[i]]：当前容量 j 的方法数等于不选当前数的方法数加上选当前数的方法数。
5. 返回结果
  dp[bagSize]，即所有方案数。

本题用一维动态规划，核心是 01 背包计数型动态规划，dp[j] 表示和为 j 的方案数。
 */
function findTargetSumWays(nums, target) {
    const sum = nums.reduce((a, b) => a + b, 0);
    if (Math.abs(target) > sum) return 0; // 绝对值大于总和，无解
    if ((target + sum) % 2 === 1) return 0; // 奇偶性不符，无解
    const bagSize = Math.floor((target + sum) / 2);

    // dp[j]：填满j这么大容积的包，有dp[j]种方法
    const dp = new Array(bagSize + 1).fill(0);
    dp[0] = 1; // 装满容量为0的方法只有1种（什么都不选）

    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        for (let j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
            dp[j] += dp[j - nums[i]];
        }
    }
    return dp[bagSize];
}

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474. 一和零

• 给你一个二进制字符串数组 strs 和两个整数 m 和 n 。
• 请你找出并返回 strs 的最大子集的长度，该子集中 最多 有 m 个 0 和 n 个 1 。
• 如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

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• 思路
• 01背包应用：装满这个背包最多有多少个物品，这个背包有两个维度，一个是m 一个是n，而不同长度的字符串就是不同大小的待装物品。

• 1.确定dp数组定义及下标的含义：dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小为dp[i][j]
• 2.确定递推公式：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1)，strs里的字符串有zeroNum个0，oneNum个1
• 3.dp数组如何初始化：物品价值不会是负数，初始为0，保证递推的时候dp[i][j]不会被初始值覆盖
• 4.确定遍历顺序：外层for循环遍历物品，内层for循环遍历背包容量且从后向前遍历！
• 5.举例推导dp数组，打印dp数组：

/**
1. dp数组定义
  dp[i][j] 表示：最多有 i 个 0 和 j 个 1 时，strs 的最大子集长度。
2. 初始化
  dp 数组全部初始化为 0，表示没有选任何字符串时子集长度为 0。
3. 遍历物品（字符串）
  对每个字符串，统计其中 0 和 1 的数量（zeroNum, oneNum）。
4. 倒序遍历背包容量
  外层 i 从 m 到 zeroNum，内层 j 从 n 到 oneNum，倒序是为了保证每个字符串只用一次（01背包）。
  状态转移：dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1),表示当前容量下，选或不选当前字符串，取最大子集长度。
5. 返回结果
  dp[m][n] 即为最多有 m 个 0 和 n 个 1 时的最大子集长度。

本题是二维 01 背包问题，dp[i][j] 表示容量为 i 个 0、j 个 1 时能选的最大字符串子集数，核心是倒序遍历和状态转移。
 */
function findMaxForm(strs, m, n) {
    // dp[i][j]：最多有i个0和j个1的strs的最大子集的大小
    const dp = Array.from(Array(m+1), () => Array(n+1).fill(0))

    for (const str of strs) { // 遍历每个物品（字符串）
        let zeroNum = 0, oneNum = 0;
        for (const c of str) {
            if (c === '0') zeroNum++;
            else oneNum++;
        }
        // 倒序遍历背包容量，保证每个字符串只用一次
        for (let i = m; i >= zeroNum; i--) {
            for (let j = n; j >= oneNum; j--) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

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参考&感谢各路大神

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• B站：代码随想录