【MATLAB】对连续信号采样的研究

1. 引言

注意：MATLAB源码会在文章最后提供

2. 某些重要概念

2.1 信号频率 / F (单位:Hz)

在电子电路设计以及通信系统里，通常将 3MHz 作为高频和低频的大致分界线。频率低于 3MHz 的为低频信号，高于 3MHz 的视作高频信号。例如，调幅（AM）广播的频率范围在 535kHz - 1605kHz ，属于低频段；而调频（FM）广播的频率范围在 88MHz - 108MHz，则处于高频段。

2.2 采样频率 / Fs (单位:Hz)

• 定义：采样频率指的是单位时间内对连续信号进行采样的次数，单位为赫兹（Hz）。比如采样频率为 100Hz，就意味着每秒对连续信号进行 100 次采样。
• 作用：决定了离散信号对原始连续信号的还原程度。通过在时间上对连续信号进行等间隔采样，将其转化为离散的样本序列。较高的采样频率可以获取更多的信号细节信息，使得离散信号更接近原始连续信号；而较低的采样频率可能会丢失一些重要信息，导致还原的信号与原始信号存在较大差异。
• 奈奎斯特采样定理：为了能够从采样后的离散信号无失真地恢复出原始连续信号，采样频率必须至少是原始信号最高频率的两倍。例如，对于最高频率为 20kHz 的音频信号，根据奈奎斯特采样定理，采样频率至少要达到 40kHz。理论上可以恢复原始信号，但在实际应用中，这种临界情况非常不稳定，信号稍有干扰或频率偏差，就可能无法准确恢复原始信号。

2.3 采样周期(间隔) / Ts (单位:s)

• 定义：采样周期指的是在对连续信号进行采样时，相邻两次采样之间的时间间隔 ，通常用 Ts 表示。例如，当我们以固定的时间间隔对一个连续变化的电压信号进行取值，这个时间间隔就是采样周期。
• 与采样频率关系：采样周期与采样频率 Fs 互为倒数，即 Ts=1/Fs。比如采样频率 1000Hz，意味着每秒采样 1000 次，那么采样周期 1ms，也就是每隔 1 毫秒进行一次采样。
• 对信号采样影响：采样周期决定了采集到的离散信号对原始连续信号的时间分辨率。较小的采样周期（即较高的采样频率）能够更频繁地对连续信号进行采样，从而获取更多的信号细节，离散信号也就更接近原始连续信号的真实形态。相反，较大的采样周期（较低的采样频率）会使采样点在时间上分布稀疏，可能会丢失原始信号中的一些快速变化信息，导致信号还原时出现失真。

2.4 采样总时间

公式：采样时长 = 采样周期 * 周期数

2.5 采样点数 / Ns (单位:个)

• 定义：采样点数指的是在对连续信号进行采样的过程中，所获取的离散样本的数量 。比如，对一段持续 10 秒的声音信号进行采样，总共采集了 441000 个样本数据，这里的 441000 就是采样点数。
• 计算公式：
  1、单个周期采样点数 = 信号周期÷采样周期 = 信号周期×采样频率 = 采样频率÷信号频率
  2、采样点数 = 信号周期÷采样周期采样时长 = 信号周期×采样频率采样时长 = 采样频率÷信号频率*采样时长
  注意区别！！
• 决定因素：
  1、采样时长：在采样频率固定的情况下，采样时长越长，采样点数越多。
  2、采样频率：当采样时长固定时，采样频率越高，单位时间内采集的样本数越多，采样点数也就越多。
• 对信号分析的影响：采样点数影响着我们对信号的分析和处理效果。较多的采样点数可以提供更丰富的信号细节信息，有助于更精确地还原原始信号、进行频谱分析等操作。
• 举例：若有一个 1000Hz 的原始信号，用 2000 Hz的采样频率对这个信号进行采样，得出来的采样信号，其一个周期内只有 2 个采样点数，假如想要进行1024个点的FFT，那么对原始信号多采样几个周期，以加长采样时间，直到 Ns = fs / f * T = 1024 个点后，再进行FFT。因此，采样所得信号在单个周期内的点数，与进行FFT运算时所采用的点数（例如1024点）并不矛盾。在编程实现中，通常会定义一个大小为1024的DMA数组。DMA会持续不断地对ADC采集到的信号数据进行搬运，直至数组中的数据点数达到1024个，此时程序便会启动FFT运算，进而得到相应的频谱图，然后再进行下一次的搬运、FFT。 需要特别注意的是，在选择采样频率对原始信号进行采样时，若能使采样信号一个周期的采样点数 = 采样频率÷原始信号频率 = 2^n"这一关系，将有助于FFT运算取得更理想的效果。这是一个极易产生混淆的关键环节，务必加以留意！！！

2.6 采样频率分辨率 / ΔF (单位:Hz)

• 定义：频率分辨率指的是在对信号进行频谱分析时，能够分辨出的两个相邻频率分量的最小频率间隔 。
• 计算公式：采样频率分辨率 = 采样频率 / 采样点数
• 决定因素：在使用离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）等方法进行频谱分析时，频率分辨率主要取决于信号的采样点数Ns和采样频率Fs。
• 对信号分析的影响：频率分辨率直接影响对信号频率特性的分析精度。

3. MATLAB绘制举例

3.1 信号产生

首先产生一个信号频率为 50Hz 的信号，显示 5 个周期的时间长度。

产生如下的信号：

3.2 信号采样

采用不同的采样频率来采样原始信号，并生成采样信号，同样的，也是采样 5 个周期的时间。

产生如下几个采样后的信号：

对比一下原始信号：

这里我就没有用点点来表示所采样到的点数，但是根据计算公式也可以得知了，想要清楚看到采样点数的话，可以在plot函数中增加一个'rp'来显示采样点：

可见，根据奈奎斯特采样定理：采样频率至少是原始信号最高频率的两倍，当采样率为100Hz的时候，才能勉强还原出原始信号的形状以及所采样的 5 个周期，但这是处于奈奎斯特采样定理的临界情况。

3.3 干扰测试

此处我加上了高斯白噪声，来测试不同的采样频率得出的采样信号，在同一噪声干扰下的稳定性如何。

绘制出来的图像：

4. MATLAB源码

%% 清除工作区变量、命令行窗口并关闭所有图形窗口
clear;
clc;
close all;

%% 信号生成与绘制
% 产生一个频率为50Hz、时长为5个周期时间的信号
f = 50; % 信号频率，单位：Hz
Tf = 1 / f; % 一个周期的时间，单位：s
N = 5; % 周期数目，单位：个
t1 = linspace(0 * Tf, N * Tf, N * 8192); %显示信号的n*Tf - 0*Tf个周期
y1 = 5 * sin(f * 2 * pi * t1);

% 绘制原始信号
figure(1);
subplot(6, 2, 1);
plot(t1, y1);
title([[num2str(f), 'Hz原始信号']]);
xlabel('时间 / s');
ylabel('振幅 / V');
grid on;

%% 不同采样频率下的采样信号生成与绘制
fs_array = [50, 100, 1000, 2000, 5000];

for i = 1:length(fs_array)
    fs = fs_array(i);
    Ts = 1 / fs;
    Ns = Tf / Ts;
    t2 = linspace(0 * Tf, N * Tf, N * Ns);
    y2 = 5 * sin(f * 2 * pi * t2);

    subplot(length(fs_array) + 1, 2, 2 * i - 1 + 2);
    plot(t2, y2);
    title([num2str(fs), 'Hz采样率采样信号']);
    xlabel('时间 / s');
    ylabel('振幅 / V');
    grid on;
end

%% 给所有信号添加高斯白噪声干扰并绘制
noise_power = 0.5;

noise1 = sqrt(noise_power) * randn(size(y1));
y1_with_noise = y1 + noise1;
subplot(6, 2, 2);
plot(t1, y1_with_noise);
title([num2str(f), 'Hz原始信号 +高斯白噪声干扰']);
xlabel('时间 / s');
ylabel('振幅 / V');
grid on;

for i = 1:length(fs_array)
    fs = fs_array(i);
    Ts = 1 / fs;
    Ns = Tf / Ts;
    t2 = linspace(0 * Tf, N * Tf, N * Ns);
    y2 = 5 * sin(f * 2 * pi * t2);
    noise = sqrt(noise_power) * randn(size(y2));
    y2_with_noise = y2 + noise;

    subplot(length(fs_array) + 1, 2, 2 * i + 2);
    plot(t2, y2_with_noise);
    title([num2str(fs), 'Hz采样率采样信号 +高斯白噪声干扰']);
    xlabel('时间 / s');
    ylabel('振幅 / V');
    grid on;
end

%% 总结
% 奈奎斯特采样定理要求采样频率至少是原始信号最高频率的两倍。
% 这里原始信号频率50Hz，采样频率100Hz时刚好满足fs = 2f，处于临界情况。
% 实际应用中通常会采用更高的采样频率，以确保可靠地还原信号。

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