洛谷题单指南-基础线性代数-P4910 帕秋莉的手环

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4910

题意解读：长度为n的01环形串，相邻两个必有一个是1，求组成这样的01串的方案数。

解题思路：

设f[i][0]表示长度为i的01串，相邻两个必有一个是1,且第i个是0的方案数

设f[i][1]表示长度为i的01串，相邻两个必有一个是1,且第i个是1的方案数。

则有：

f[i][0] = f[i-1][1]

f[i][1] = f[i-1][0] + f[i-1][1]

如果第一个是0，那么答案是f[n][1]，如果第一个是1，那么答案是f[n][0] + f[n][1]

由于n的范围很大，显然要使用矩阵快速幂来优化。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL mod = 1000000007;

LL t, n;

struct Matrix
{
    LL a[3][3];

    Matrix()
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }

    Matrix operator * (const Matrix &to) const
    {
        Matrix res;
        for(int i = 1; i <= 2; i++)
            for(int j = 1; j <= 2; j++)
                for(int k = 1; k <= 2; k++)
                    res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * to.a[k][j]) % mod;
        return res;
    }
};

Matrix ksm(Matrix &a, LL b)
{
    Matrix res;
    res.a[1][1] = res.a[2][2] = 1;

    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a;
        a = a * a;
        b >>= 1;
    }

    return res;
}

int main()
{
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        cin >> n;
        Matrix A, B, f, g;
        A.a[1][1] = 0, A.a[1][2] = 1, A.a[2][1] = 1, A.a[2][2] = 1;
        B.a[1][1] = 0, B.a[1][2] = 1, B.a[2][1] = 1, B.a[2][2] = 1;

        //第一个是0
        f.a[1][1] = 1, f.a[1][2] = 0; 
        //第一个是1
        g.a[1][1] = 0, g.a[1][2] = 1;

        LL ans = 0;
        Matrix res = f * ksm(A, n - 1);
        ans = (ans + res.a[1][2]) % mod;
        
        res = g * ksm(B, n - 1);
        ans = (ans + res.a[1][1] + res.a[1][2]) % mod;
        cout << ans << endl;
    }
    
    return 0;
}