洛谷题单指南-基础线性代数-P1962 斐波那契数列

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1962

题意解读：求斐波那契数列第n项，n非常大

解题思路：

由于n非常大，直接递推必然超时，这里介绍一种常见优化递推的方法：矩阵快速幂。

具体来说，

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MOD = 1e9 + 7;
struct Matrix
{
    LL a[5][5];

    Matrix()
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }

    Matrix operator * (const Matrix &to) const
    {
        Matrix res;
        for(int i = 1; i <= 2; i++)
            for(int j = 1; j <= 2; j++)
                for(int k = 1; k <= 2; k++)
                    res.a[i][j] = (res.a[i][j] + a[i][k] * to.a[k][j]) % MOD;
        return res;
    }
} G2, A, ans;
LL n;

Matrix ksm(Matrix &a, LL b)
{
    Matrix res;
    res.a[1][1] = 1, res.a[2][2] = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a;
        b >>= 1;
        a = a * a;  
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n;
    if(n <= 2)
    {
        cout << 1 << endl;
        return 0;
    }
    G2.a[1][1] = 1, G2.a[1][2] = 1; //G(2) = [F(2), F(1)]
    A.a[1][1] = 1, A.a[1][2] = 1, A.a[2][1] = 1, A.a[2][2] = 0; 
    ans = G2 * ksm(A, n - 2);
    cout << ans.a[1][1] << endl;
}