洛谷题单指南-概率与统计-P1654 OSU!

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1654

题意解读：n个01串，如果出现x个连续1，得分加x³，求总分数的期望。

解题思路：

总分数的期望是所有可能的连续1串分数的和，也是所有位置为最后一个1串末尾的分数*概率之和，直接求不容易，但随着串的长度增加，存在递推关系。

设x是部分串后缀都是1的长度，当下一位也是1，总得分增加值为(x+1)³-x³ = 3x²+3x+1

设E(i)表示长度i的串的得分期望，第i为是1的概率为P(i)

那么有E(i) = E(i-1) + P(i) * (3x²+3x+1)

由于E(x²)!=E(x)²，x²必须理解为前i-1位后缀1长度平方的期望，x为前i-1为后缀1长度的期望

设L1(i)表示前i位后缀1长度的期望，L2(i)表示前i位后缀1长度平方的期望

则有：E(i) = E(i-1) + P(i) * (3*L2(i-1) + 3*L1(i-1) + 1)

而

L1(i) = P(i) * (L1(i-1) + 1) 

L2(i) = P(i) * (L2(i-1) + 2*L1(i-1) + 1)，（由于E(x²)!=E(x)²，x²必须理解为前i-1位后缀1长度平方的期望）

再递推中计算即可。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100005;
double E[N], L1[N], L2[N], P[N];
int n;

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> P[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        L1[i] = P[i] * (L1[i - 1] + 1);
        L2[i] = P[i] * (L2[i - 1] + 2 * L1[i - 1] + 1);
        E[i] = E[i - 1] + P[i] * (3 * L2[i - 1] + 3 * L1[i - 1] + 1);
    }
    printf("%.1f", E[n]);
    return 0;
}