洛谷题单指南-概率与统计-P2719 搞笑世界杯

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2719

题意解读：有2n张票，A类票和B类票各n张，当A类票和B类票都没有卖完时，下一张票是A或B的概率为50%，如果某一类票卖完，下一张票的概率为1，求最后两张票相同的概率。

解题思路：

1、方法一

要直接求最后两张票相同的的事件的概率不太容易，可以转为求最后两张票不同的事件概率，这样的事件意味着前2n-1张票都要通过抛硬币决定，也就是一个事件的概率为1/2^2n-1，一共有多少个这样的事件？也就是前2n-2张票选n-1为A，其余为B，最后两张票有AB、BA 2种可能，一共有2*C(2n-2,n-1)个。

因此，最后两张票不同的总概率为2*C(2n-2,n-1)*1/2^2n-1 = C(2n-2,n-1)/2^2n-2

最后两张票相同的概率为1 - C(2n-2,n-1)/2^2n-2 = 1 - ((2n-2)/4(n-1)) * ((2n-3)/4(n-2))...(n/4)

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;

int main()
{
    int x;
    cin >> x;
    n = x / 2;
    double ans = 1;
    for(int i = 1; i <= n - 1; i++)
    {
        ans *= 1.0 * (2 * n - 1 - i) / (n - i) / 4;
    }
    ans = 1 - ans;
    printf("%.4f", ans);
    return 0;
}

2、方法二

采用动态规划的方法，我们发现当剩余i张A票，j张B票时，最后两张票一样的概率，跟卖出一张票之后，剩下的票中最后两张票一样的概率相关

设f[i][j]表示剩下i张A票j张B票时最后两张票一样的概率

下一张卖出A的概率是0.5，卖出B的概率也是0.5

因此有状态转移：f[i][j] = (f[i-1][j] + f[i][j-1]) / 2

初始化：f[i][0]=f[0][j]=1， i，j>=2，显然一种票卖完，剩下最后两张票一样的概率是100%

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1500;
double f[N][N];
int n;

int main()
{
    int x;
    cin >> x;
    n = x / 2;
    for(int i = 2; i <= n; i++) f[i][0] = f[0][i] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - 1]) / 2;
    printf("%.4f", f[n][n]);
    return 0;
}