洛谷题单指南-组合数学与计数-CF1278F Cards

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/CF1278F

题意解读：n次从m张牌里抽一张，一共抽到x次小丑，求x^k的期望。

解题思路：

要求x^k的期望，即求：，p是抽到小丑牌x次的概率。

对于n次操作，每次抽中小丑的概率是t=1/m，一共抽中x次的概率符合典型的伯努利实验：

因此答案是：，直接算不可行，需要进一步转换，一定要把求和x从1到n给化简掉。

突破口在x^k

根据第二类斯特林数与幂的关系：

可以借助于普通幂->下降幂的关系将x^k替换掉，得到式子并经过一系列转化：

注意，t = 1/m，除以m^j模mod相当于乘以m^j模mod的逆元，mj的逆元为(m^j)^mod-2 % mod

斯特林数可以通过递推进行初始化：S(n,k) = S(n-1,k-1) + k*S(n-1,k)

n的下降幂也可以预先初始化

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int K = 5005, MOD = 998244353;
LL S[K][K]; //斯特林数
LL facn[K]; //n的下降幂
LL n, m, k, ans;

LL ksm(LL a, LL b, LL mod)
{
    LL res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    //预处理斯特林数
    S[0][0] = 1;
    for(LL i = 1; i <= k; i++)
    {
        for(LL j = 1; j <= i; j++)
        {
            S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + j * S[i - 1][j] % MOD) % MOD;
        }
    }
    //预处理n的下降幂
    facn[1] = n;
    for(int i = 2; i <= k; i++)
    {
        facn[i] = facn[i - 1] * (n - i + 1) % MOD;
    }
    //计算答案
    for(LL j = 0; j <= k; j++)
    {
        ans = (ans + S[k][j] * facn[j] % MOD * ksm(m, j * (MOD - 2), MOD) % MOD) % MOD;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}