洛谷题单指南-组合数学与计数-P3214 [HNOI2011] 卡农

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3214

题意解读：从数字1~n组成的所有非空子集中，选m个子集组成集合T，要求集合T里所有子集的数字都出现偶数次，请所有T的方案数。

解题思路：

数字1~n组成的非空子集一共有2ⁿ-1个（每个数字有选或不选两种，排除全不选）

如果不考虑数字出现偶数次的限制，总的方案数为C(2ⁿ-1,m)，关键要思考如何排除掉出现偶数次的情况。

这里借助于递推：

设f[i]表示选了前i个子集且所有数都出现偶数次的方案数

考虑选第i个子集的时候，方案是确定的，因为前i-1如果已经选好，所有数字的奇偶性是确定的，如果不考虑奇偶性，选前i-1个子集的所有方案数是C(2ⁿ-1,i-1)

选第i个子集有两种不合法的可能：

1、选空集合，前i-1个子集中数字都已经出现偶数次

由于C(2ⁿ-1,i-1)里包括了选空集的情况，前i-1个集合数字是偶数个的时候，第i个为空集，一共有f[i-1]种

2、第i个子集与前i-1个子集有重复的情况

首先，有i-2个子集是不重复的，还有2个子集重复，重复的子集有2ⁿ-1-(i-2)=2ⁿ-i+1种选择，i-2个子集是合法的方案数是f[i-2]，因此第i个子集与前i-1个子集有重复的情况一共有f[i-2]*(2ⁿ-i+1)种

这时，得到选前i个子集的总方案数是C(2ⁿ-1,i-1)-f[i-1]-f[i-2]*(2ⁿ-i+1)

去掉不合法的情况之后，对于i个子集都确定的情况下，第i个子集一共有i种选法，方案数里已经包括了这i种选法，因此最终：

f[i] = ( C(2ⁿ-1,i-1)-f[i-1]-f[i-2]*(2ⁿ-i+1) ) / i

C(2ⁿ-1,i-1)可以通过展开后阶乘逆元在递推中来计算，C(2ⁿ-1,i-1) = (2ⁿ-1)*...*(2ⁿ-i+1) / (i-1)!

初始时f[0]=f[1]=f[2]=0，从i=3开始求，C(2ⁿ-1,3-1) = (2ⁿ-1)*...*(2ⁿ-2) / 2!，

下一次递推C(2ⁿ-1,4-1) = C(2ⁿ-1,3-1) * (2ⁿ-3) / 3，因此下一次C(2ⁿ-1,i-1) 要*(2ⁿ-i) / i

除以i变为乘以i模mod的逆元。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 1000005, MOD =  1e8 + 7;
LL f[N], C;
LL n, m;

LL ksm(LL a, LL b, LL mod)
{
    LL res = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    //C(2^n-1,3-1) = (2^n-1)*...*(2^n-2) / 2!
    LL t = ksm(2, n, MOD);
    C = (t - 1) * (t - 2) % MOD * ksm(2, MOD - 2, MOD) % MOD; 
    for(int i = 3; i <= m; i++)
    {
        //f[i] = ( C(2^n-1,i-1)-f[i-1]-f[i-2]*(2^n-i+1) ) / i
        f[i] = C - f[i - 1] - f[i - 2] * (t - i + 1) % MOD;
        f[i] = (f[i] % MOD + MOD) % MOD * ksm(i, MOD - 2, MOD) % MOD;
        //C = C * (2^n-i+1) / i
        C = C * (t - i) % MOD * ksm(i, MOD - 2, MOD) % MOD;
    }
    cout << f[m];
    return 0;
}