洛谷题单指南-进阶数论-P4549 【模板】裴蜀定理

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4549

题意解读：求整数A1​,A2​,A3​,...,An与任意整数X1,X2,X3...Xn组成线性方程的最小正整数解，裴蜀定理的推广应用。

解题思路：

1、裴蜀定理

对任意两个整数 a 和 b（至少有一个非零），设它们的最大公约数为 d = gcd(a, b)，则：存在整数 x 和 y，使得 ax + by = d。
简单来说：“两个数的最大公约数，一定能表示成这两个数的‘整数系数线性组合’”；反之，“这两个数的所有线性组合中，最小的正整数就是它们的最大公约数”。
证明：
对任意两个整数 a > b > 0，未知数是任意值，系数大于0更易处理，欧几里得算法通过以下迭代得到 gcd(a, b)
image
最终非零余数 rn = gcd(a,b)
从最后一个非零余数 rn 开始，逐步将其表示为前一步两个数的线性组合，最终追溯到 a 和 b：
  • 第 1 步（最后一个非零等式）：rn-2 = qn rn-1 + rn，移项得：rn = rn-2 - qnrn-1这表明 rn是 rn-2和 rn-1的线性组合（系数为 1 和 -qn）。
  • 第 2 步（倒推前一个等式）：由 rn-3 = qn-1rn-2 + rn-1，移项得 rn-1 = rn-3 - qn-1rn-2。将 rn-1代入第 1 步的 rn表达式：rn = rn-2- qn(rn-3 - qn-1rn-2) = -qnrn-3 + (1 + qnqn-1)rn-2此时 rn表示为 rn-3和 rn-2的线性组合。
  • 迭代倒推：重复上述过程，每一步都将 rn表示为 “更前一步的两个余数” 的线性组合，直到倒推至第一个等式 a = q1b + r1。
  • 最终步骤：当倒推到初始的 a 和 b 时，rn（即 gcd(a,b)）可表示为 a 和 b 的线性组合 ax + by（x,y为整数），定理得证。

2、裴蜀定理的推广

裴蜀定理可自然推广到任意有限个整数的情况，核心逻辑不变：

对任意 n 个整数 a1, a2, ..., an（至少一个非零），设 d = gcd(a1, a2, ... an)，则：存在整数 x1, x2, ..., xn，使得 a1x1 + a2x2 + ... + anxn = d。

关键推论：

  • 若 a1, a2, ..., an互质（即gcd(a1, a2, ..., an) = 1），则存在整数 x1, x2, ..., xn 使得 a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 1（“互质” 的线性组合等价定义）；
  • 反之，若存在整数 x1, x2, ..., xn使得 a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 1，则 a1, a2, ..., an互质（因 1 的约数只有 ±1，故最大公约数为 1）。

3、问题分析

对于此题，求所有A1~An的绝对值的GCD即可。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, a[25];

int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}

int main()
{
    cin >> n;
    if(n == 1)
    {
        int a;
        cin >> a;
        cout << abs(a);
        return 0;
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i], a[i] = abs(a[i]);
    int d = gcd(a[1], a[2]);
    for(int i = 3; i <= n; i++) d = gcd(d, a[i]);
    cout << d;
    return 0;
}

 

posted @ 2025-09-30 15:08  hackerchef  阅读(15)  评论(0)    收藏  举报