洛谷题单指南-进阶数论-P3861 拆分

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3861

题意解读：将整数n拆分成不同因数之积的方案数，不含1*n的情况。

解题思路：

1、背景知识-超级合数

n的数据范围最大是10^12，尽管n很大，但是n以内的整数的约数个数最多是多少呢？

在数论中通常可以查询超级合数表来计算：超级合数介绍

查表可以，不超过10^12的超级合数是：

963761198400 2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*5*5*7*11*13*17*19*23 6720

6720就是963761198400的约数个数，这个就是最多的约数个数。

有此基础，问题就好办了！

2、问题分析

对于一个整数n，先分解出所有的约数（包括1和n），存入数组a[],一共是cnt个，并对约数从小到大排序；

再定义一个数组pos[]，用来存每个约数对应a中的下标，需要注意约数中在1~sqrt(n)内的不超空间，sqrt(t)~n范围内可能超空间，可以分开两个数组，对sqrt(t)~n范围的数进行hash处理，这里直接统一用map处理。

接下来用线性动态规划来解决，

状态定义：设f[i][j]表示将a[i]拆解成a[1]~a[j]之积的方案数，根据约数个数最大6720，数组开f[10000][10000]即可

状态转移：

对于f[i][j]，主要看最后一个a[j]是否包含在a[i]拆解的约数之中

如果不包含a[j]，必然不选a[j]，则有f[i][j] = f[i][j - 1]

如果包含a[j]，可以选也可以不选a[j]，则有f[i][j] = f[i][j - 1] + f[pos[a[i] / a[j]]][j - 1]

初始化：f[1][1] = 1

结果：f[cnt][cnt] - 1，减一是因为排除1 * n的情况

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 10000, M = 1000000;
LL a[M], cnt;
unordered_map<LL, int> pos;
int f[N][N];
int t;

int main()
{
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cnt = 0;
        memset(f, 0, sizeof(f));
        LL n;
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n / i; i++)
        {
            if(n % i == 0)
            {
                a[++cnt] = i;
                if(i != n / i) a[++cnt] = n / i;
            }
        }

        sort(a, a + cnt + 1);
        for(int i = 1; i <= cnt; i++) 
            pos[a[i]] = i;
        f[1][1] = 1;
        for(int i = 1; i <= cnt; i++)
        {
            for(int j = 2; j <= cnt; j++)
            {
                f[i][j] = f[i][j - 1];
                if(a[i] % a[j] == 0) f[i][j] += f[pos[a[i] / a[j]]][j - 1];
            }
        }

        cout << f[cnt][cnt] - 1 << endl;
    }
    return 0;
}