洛谷题单指南-最短路-P5960 【模板】差分约束

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5960

题意解读：n个未知数，m个不等式，求一组可能解。

解题思路：

1、概念

差分约束系统是由一组形如x_j-x_i <= c_k的不等式组成的系统，其中x_i 和x_j是变量，c_k是常数。其目标是求解这个不等式组，找到一组满足所有不等式的变量取值。

2、建模

通过将不等于移项，变成形如x_j <= x_i + c_k的形式，对于每一个不等式，通过在i->j之间连一条长度为c_k的边，如果从某个起点到各个点存在一条最短路，则必然满足x_j <= x_i + c_k，因为如果存在x_j > x_i + c_k，在计算最短路过程中，必然会被松弛：if(x_j > x_i + c_k) x_j = x_i + c_k，最终一定满足x_j <= x_i + c_k。

因此，求解不等式组的一组可能解，就变成了求所有点的最短路径，未知数x_i的可能解就是dist[i]。

3、起点

要计算所有点的最短路，必须找到合适的起点，也就是从起点可以达到所有点，如果无法明确找到这样的点，不妨设0为起点，dist[0]=0，即x₀=0，

从0点到所有点建一条长度为0的边，再跑一遍SPFA算法，如果不出现负环，则一组可能的解就是所有点的最短路dist[i]。

4、无解

如果在SPFA计算中出现负环，说明存在一个环（x1->x2->x3->x1）中的点有这样的关系：x2<=x1+c1, x3<=x2+c2, x1<=x3+c3，三个式子相加得到0<=c1+c2+c3，但是负环说明c1+c2+c3<0，产生矛盾，因此不等式无解。

5、变形

为了统一为最短路和负环计算，可以将不等式的关系也进行统一，

• 如果出现A = B，可以转化为A <= B, B <= A
• 如果出现A < B，可以转换为A + 1 <= B
• 如果出现A > B，可以转化为B + 1 <= A
• 如果出现A >= B，可以转化为B <= A

如果是要计算最长路和正环，则不等式的<=要变换成>=。

6、求最大值

• 如果是求某个未知数x_i的最大值， 对于从0到i的路径上的所有边的不等式进行相加：

    x₁ <= x₀

    x₂ <= x₁ + c₁

    ...

    x_i <= x_i-1+c_i-1

    得到x_i <= c₁+c₂+...+c_i-1

    要得到x_i的最大值，必须求出所有可能的c₁+c₂+...+c_i-1的最小值，也就是从0到i的最短路。

• 如果是求某两个未知数x_j-x_i差值的最大值，同样对于i到j路径上的所有边的不等式进行相加，不难得出结论是求从i到j的最短路。

7、求最小值

要求最小值，不等式关系需要调整为形如：x_j >= x_i + c_k

同样建立从i到j权值为c_k的边，然后跑最长路，无解对应存在正环。

100分代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5005, M = 10005;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int dist[N], cnt[N];
bool vis[N];
int n, m;

void add(int a, int b, int c)
{
    e[++idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx; 
}

bool spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
    queue<int> q;
    q.push(0);
    dist[0] = 0;
    while(q.size())
    {
        int u = q.front(); q.pop();
        vis[u] = false;
        for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
        {
            int v = e[i];
            if(dist[v] > dist[u] + w[i])
            {
                dist[v] = dist[u] + w[i];
                cnt[v] = cnt[u] + 1;
                if(cnt[v] >= n + 1) return true; //存在负环
                if(!vis[v])
                {
                    q.push(v);
                    vis[v] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof(h));
    cin >> n >> m;
    while(m--)
    {
        int v, u, w;
        cin >> v >> u >> w;
        add(u, v, w);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) add(0, i, 0); //虚拟源点0到所有点建立一条权值为0的边
    if(spfa()) cout << "NO";
    else for(int i = 1; i <= n; i++) cout << dist[i] << " ";
    return 0;
}