793. Preimage Size of Factorial Zeroes Function

问题：

求有多少个数的阶乘结果，末尾含有K个0的。

Example 1:
Input: K = 0
Output: 5
Explanation: 0!, 1!, 2!, 3!, and 4! end with K = 0 zeroes.

Example 2:
Input: K = 5
Output: 0
Explanation: There is no x such that x! ends in K = 5 zeroes.

Note:
K will be an integer in the range [0, 10^9].

　　

解法：Factorial（阶乘），Binary Search（二分查找）

根据172. Factorial Trailing Zeroes

已经得到，如何求给定数n的阶乘中末尾含有多少个0。

    long FactorialZeros(long n) {//count n! zero nums
        long res = 0;
        for(long d=n; d/5>0; d=d/5) {
            res+=d/5;
        }
        return res;
    }

 

那我们要求的则是，在所有数的阶乘中，

找 FactorialZeros(x)==K 的 x 共有多少个。

分析可知，随着 x 的增大，x! 中所含有5的因子也会变多，末尾0的数量也会增加。

是一个递增函数。

因此，我们可以使用二分查找，从0～LONG_MAX的所有数中，

找到满足 FactorialZeros(x)==K 的x的上限和下限，

二者之差，即为所求。

 

二分查找

参考：69. Sqrt(x)

int binary_search(int l, int r) {
        // range: [l,r)
        while(l<r) {// ★
            int m = l+(r-l)/2;
            if(g(m)) {// ★ find first val which meet the condition g(m)
                r = m; // ★
            } else {
                l = m+1;
            }
        }
        return l; // ★
    }

 

代码参考：

class Solution {
public:
    long FactorialZeros(long n) {//count n! zero nums
        long res = 0;
        for(long d=n; d/5>0; d=d/5) {
            res+=d/5;
        }
        return res;
    }
    long findUpperBound(int k) {
        long l = 0, r = LONG_MAX;
        while(l<r) {
            long m = l+(r-l)/2;
            if(FactorialZeros(m)>k) {// find first val which FactorialZeros(m)>k
                r = m;
            } else {
                l = m+1;
            }
        }
        return l;
    }
    long findLowerBound(int k) {
        long l = 0, r = LONG_MAX;
        while(l<r) {
            long m = l+(r-l)/2;
            if(FactorialZeros(m)>=k) {// find first val which FactorialZeros(m)>=k
                r = m;
            } else {
                l = m+1;
            }
        }
        return l;
    }
    int preimageSizeFZF(int K) {
        return findUpperBound(K)-findLowerBound(K);
    }
    
};