【题解】Product
\(\text{Solution:}\)
\(Question:\)
\(\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n \frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\)
分开得:
\[\frac{\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n ij}{\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}gcd(i,j)^{2}}
\]
分子即为\((n!)^{2n},\)主要方法在分母。
先不看平方，有：
\[\prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{n}gcd(i,j)=\prod_{d=1}^n d^{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [gcd(i,j)=d]}
\]
分解指数：
\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [gcd(i,j)=d]=\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,j)=1]=\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}2\varphi(i)-1
\]
线性出欧拉函数前缀和即可求出。
于是，分母可以枚举指数\(O(n\log n)\)算出。
注意到，模数是质数，所以根据欧拉定理，令指数对\(\varphi(mod)=mod-1\)取模即可免去\(\text{long long.}\)
注意到空间限制，线筛的\(vis\)数组可以用\(bitset.\)不要浪费多余空间。减少模的数量，以加快速度。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=104857601;
const int MAXN=1e6+1;
bitset<MAXN+5>vis;
int p[MAXN+5],phi[MAXN+5],cnt,N,Ans,F,res;
inline int mul(int a,int b){return 1ll*a*b%mod;}
inline int add(int x,int y){return (x+y)%mod;}
void predo(){
phi[1]=1;F=1;int n=N;
for(int i=2;i<=n;++i){
F=1ll*F*i%mod;
if(!vis[i])phi[i]=i-1,p[++cnt]=i;
for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;++j){
vis[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0){
phi[i*p[j]]=(phi[i]*p[j]);
break;
}
phi[i*p[j]]=(phi[i]*(p[j]-1));
}
}
for(int i=1;i<=n;++i){
phi[i]=phi[i]*2+phi[i-1];
phi[i]%=(mod-1);
}
}
inline int qpow(int a,int b){
res=1;
while(b){
if(b&1)res=mul(res,a);
a=mul(a,a);b>>=1LL;
}
return res;
}
int main(){
scanf("%d",&N);
predo();
F=qpow(F,2*N);Ans=1;
for(int i=2;i<=N;++i){Ans=1ll*Ans*qpow(i,phi[N/i]-1)%mod;}
Ans*=1ll;
Ans=mul(Ans,Ans);
Ans=qpow(Ans,mod-2);
Ans=mul(Ans,F);
printf("%lld\n",Ans);
return 0;
}
