[自动控制原理] 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 (Laplace Transform) 学习笔记

一、复数与复变函数基础

1. 复数的表示

复数 \(s\) 通常表示为：

\[s = \sigma + j\omega \]

其中：

• \(\sigma\) 为实部 (Real Part)
• \(\omega\) 为虚部 (Imaginary Part)
• \(j = \sqrt{-1}\) (虚数单位)

复数的其他表示形式：

• 三角形式：\(s = r(\cos\theta + j\sin\theta)\)
• 指数形式：\(s = re^{j\theta}\)
  • 其中 \(r = |s| = \sqrt{\sigma^2 + \omega^2}\) (模)
  • \(\theta = \arg(s)\) (辐角)

2. 复变函数

以复数 \(s\) 为自变量，按某一特定关系构成的函数 \(G(s)\) 称为复变函数。

• 零点 (Zeros)：当 \(s = z_i\) 时，若 \(G(s) = 0\)，则称 \(z_i\) 为 \(G(s)\) 的零点。
• 极点 (Poles)：当 \(s = p_i\) 时，若 \(G(s) \to \infty\)，则称 \(p_i\) 为 \(G(s)\) 的极点。

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二、拉氏变换与拉氏反变换的定义

拉氏变换是控制工程中的基本数学方法，其核心优点是将时间域 (\(t\)) 的微分方程转化为 复频域 (\(s\)) 的代数方程。

1. 拉普拉斯变换 (正变换)

设有时间函数 \(f(t)\)，其中 \(t \ge 0\)，则 \(f(t)\) 的拉氏变换记作：

\[L[f(t)] = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt \]

• \(L\)：拉氏变换符号
• \(s\)：复变量
• \(F(s)\)：象函数 (Image Function)
• \(f(t)\)：原函数 (Original Function)

拉氏变换存在的条件 (狄里赫利条件)：

1. 在任何有限区间内，\(f(t)\) 分段连续，只有有限个间断点。
2. 当 \(t \to \infty\) 时，\(f(t)\) 的增长速度不超过某一指数函数，即 \(|f(t)| \le Me^{at}\) (\(M, a\) 为实常数)。

2. 拉普拉斯反变换 (逆变换)

将象函数 \(F(s)\) 变换成与之相对应的原函数 \(f(t)\) 的过程。

\[f(t) = L^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} F(s)e^{st} ds \]

• \(L^{-1}\)：拉氏反变换符号
• 计算方法：实际应用中通常不直接使用积分公式，而是采用 ① 查拉氏变换表 或 ② 部分分式展开法。

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三、典型时间函数的拉氏变换

在实际系统分析中，输入信号常简化为以下典型函数：

序号	函数名称	时域表达式 \(f(t), t \ge 0\)	拉氏变换 \(F(s)\)	备注
1	单位阶跃函数	\(1(t) = \begin{cases} 1, & t \ge 0 \\ 0, & t < 0 \end{cases}\)	\(\frac{1}{s}\)
2	单位脉冲函数	\(\delta(t) = \begin{cases} \infty, & t=0 \\ 0, & t \neq 0 \end{cases}\) (且 \(\int \delta(t)dt=1\))	\(1\)
3	单位斜坡函数	\(t\)	\(\frac{1}{s^2}\)	也称速度函数
4	指数函数	\(e^{at}\)	\(\frac{1}{s-a}\)
5	正弦函数	\(\sin(\omega t)\)	\(\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\)	利用欧拉公式推导
6	余弦函数	\(\cos(\omega t)\)	\(\frac{s}{s^2 + \omega^2}\)
7	幂函数	\(t^n\) (\(n\)为正整数)	\(\frac{n!}{s^{n+1}}\)

注：正弦/余弦函数的推导利用欧拉公式：\(e^{j\omega t} = \cos\omega t + j\sin\omega t\)。

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四、拉氏变换的重要性质

1. 线性性质

若 \(L[f_1(t)] = F_1(s)\)，\(L[f_2(t)] = F_2(s)\)，且 \(k_1, k_2\) 为常数，则：

\[L[k_1 f_1(t) + k_2 f_2(t)] = k_1 F_1(s) + k_2 F_2(s) \]

2. 位移定理

分为实数域位移（时移）和复数域位移（频移）。

• (1) 实数域位移定理 (延迟定理)
  若 \(L[f(t)] = F(s)\)，且 \(t<0\) 时 \(f(t)=0\)，对于任一正实数 \(a\)：

  \[L[f(t-a)] = e^{-as}F(s) \]
  • 物理意义：\(f(t-a)\) 表示 \(f(t)\) 在时间上延迟了 \(a\)。

• (2) 复数域位移定理 (衰减定理)
  若 \(L[f(t)] = F(s)\)，对于任一常数 \(a\)：

  \[L[e^{-at}f(t)] = F(s+a) \]
  • 例：求 \(e^{-at}\cos(\omega t)\) 的拉氏变换。
    已知 \(L[\cos(\omega t)] = \frac{s}{s^2+\omega^2}\)，则结果为 \(\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}\)。

3. 微分定理

定理内容

设 \(L[f(t)] = F(s)\)，则：

\[L\left[\frac{df(t)}{dt}\right] = sF(s) - f(0^+) \]

其中 \(f(0^+)\) 为 \(t \to 0^+\) 时的 \(f(t)\) 值。

推广到 \(n\) 阶导数：

\[L[f^{(n)}(t)] = s^n F(s) - \left[s^{n-1}f(0^+) + s^{n-2}f'(0^+) + \dots + f^{(n-1)}(0^+)\right] \]

零初始条件下（重要！）

零初始条件：\(f(0^-) = f'(0^-) = f''(0^-) = \cdots = 0\) ，即系统在 $ t=0^- $ 时处于静止状态。

• 一阶微分：
  \[L\left[\frac{df(t)}{dt}\right] = sF(s) \]

• n阶微分：
  \[L[f^{(n)}(t)] = s^n F(s) \]

例：

• 原函数：单位斜坡函数 \(\xrightarrow{微分}\) 单位阶跃函数 \(\xrightarrow{微分}\) 单位脉冲函数；

• 拉氏变换：

\[\frac{1}{s^2} \xrightarrow{\times s}\frac{1}{s} \xrightarrow{\times s} 1 \]

4. 积分定理

定理内容

设 \(L[f(t)] = F(s)\)，则：

\[L\left[ \int_0^t f(\tau) d\tau \right] = \frac{F(s)}{s} + \frac{f^{(-1)}(0^+)}{s} \]

其中：

• $ \int_0^t f(\tau) d\tau $ 是从 0 到 t 的变上限积分；

• $ f^{(-1)}(0+) $ 表示 积分在 $ t=0^+ $ 时刻的值，即 $ \int_0^{0+} f(\tau) d\tau $ —— 通常记作初始积分值或“积分初值”。

📌 注意：这里的 $ f^{(-1)}(t) $ 不是导数，而是积分后的原函数，即 $ \frac{d}{dt} f^{(-1)}(t) = f(t) $，所以 $ f^{(-1)}(0+) = \int_0^{0+} f(\tau) d\tau $

推广到 \(n\) 重积分：

对 \(f(t)\) 进行 n 次积分：

\[\underbrace{\int_0^t \int_0^{t_1} \cdots \int_0^{t_{n-1}}}_{n \text{ 次}} f(t_n) dt_n \cdots dt_1 \]

其拉氏变换为：

\[\mathcal{L}\left[ \int_0^t \cdots \int_0^{t_{n-1}} f(t_n) (dt)^n \right] = \frac{F(s)}{s^n} + \frac{f^{(-1)}(0^+)}{s^n} + \frac{f^{(-2)}(0^+)}{s^{n-1}} + \cdots + \frac{f^{(-n)}(0^+)}{s} =\frac{F(s)}{s^n} + \sum_{k=1}^n \frac{f^{(-k)}(0^+)}{s^{n-k+1}} \]

其中：

• $ f^{(-k)}(0+) $ 表示第 k 次积分在 $ t=0^+ $ 时的值。
• 例如：$ f^{(-2)}(0+) = \int_0^{0+} \int_0^{t_1} f(t_2) dt_2 dt_1 $

零初始条件下（重要！）

• 一阶积分：
  \[L\left[ \int_0^t f(\tau) d\tau \right] = \frac{F(s)}{s} \]

• n阶积分：
  \[L\left[ \underbrace{\int_0^t \dots \int_0^t}_{n} f(\tau) (d\tau)^n \right] = \frac{F(s)}{s^n} \]

例：

• 原函数：单位脉冲函数 \(\xrightarrow{积分}\) 单位阶跃函数 \(\xrightarrow{积分}\) 单位斜坡函数；

• 拉氏变换：

\[1 \xrightarrow{\div s}\frac{1}{s} \xrightarrow{\div s} \frac{1}{s^2} \]

5. 初值定理

若 \(L[f(t)] = F(s)\)，且 \(\lim_{s \to \infty} sF(s)\) 存在，则：

\[f(0^+) = \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s) \]

6. 终值定理

若 \(L[f(t)] = F(s)\)，且 \(sF(s)\) 的所有极点位于 \(s\) 平面的左半平面 (即系统稳定)，则：

\[f(\infty) = \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) \]

• 应用：常用于计算系统的稳态误差。

7. 卷积定理

设 \(L[f(t)] = F(s)\)，\(L[g(t)] = G(s)\)，则：

\[L[f(t) * g(t)] = F(s)G(s) \]

其中卷积定义为：\(f(t) * g(t) = \int_0^t f(t-\tau)g(\tau) d\tau\)。

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五、拉氏反变换的求法：部分分式展开法

当 \(F(s)\) 为有理分式形式 \(F(s) = \frac{B(s)}{A(s)}\) 时，通常将 \(A(s)\) 因式分解，把 \(F(s)\) 展开为简单的部分分式之和，然后查表求反变换。

设 \(A(s) = (s-p_1)(s-p_2)\dots(s-p_n)\)，其中 \(p_i\) 为极点。

1. 无重极点情况

\[F(s) = \frac{k_1}{s-p_1} + \frac{k_2}{s-p_2} + \dots + \frac{k_n}{s-p_n} \]

系数 \(k_i\) 的求法 (留数法)：

\[k_i = \lim_{s \to p_i} [(s-p_i)F(s)] \]

反变换结果：

\[f(t) = \sum_{i=1}^n k_i e^{p_i t} \]

2. 有重极点情况

假设 \(p_1\) 是 \(r\) 重极点，其余为单极点：

\[F(s) = \frac{k_{11}}{(s-p_1)^r} + \frac{k_{12}}{(s-p_1)^{r-1}} + \dots + \frac{k_{1r}}{s-p_1} + \frac{k_2}{s-p_2} + \dots \]

系数求法：

• 最高次项系数：

\[k_{11} = \lim_{s \to p_1} [(s-p_1)^r F(s)] \]

• 其余系数：

\[k_{1j} = \frac{1}{(j-1)!} \lim_{s \to p_1} \frac{d^{j-1}}{ds^{j-1}} [(s-p_1)^r F(s)] \]

对应的时间函数项包含 \(t^{r-1}e^{p_1 t}, \dots, e^{p_1 t}\) 等形式。