材料力学公式总结

材料力学公式总结

静矩

\[S_z = \int_A y dA, \;\; S_y=\int_AzdA \]

形心

\[\bar{y}=\frac{S_z}{A}, \;\; \bar{z}=\frac{S_y}{A} \]

组合形心

\[\bar{y}=\frac{\sum A_i\bar{y_i}}{\sum A_i},\;\; \bar{z}=\frac{\sum A_i\bar{z_i}}{\sum A_i} \]

惯性矩

\[I_y=\int_A z^2 dA, \;\; I_z=\int_A y^2 dA \]

\[矩形：I_z=\frac{bh^3}{12},\;\; 圆形：I_z=\frac{\pi d^4}{64}, \;\; 环形：I_z=\frac{\pi D^4}{64}(1-\alpha^4)，其中\alpha=\frac{d}{D}. \]

极惯性矩

\[I_p=\int_A r^2 dA = I_y +I_z \]

\[圆形：I_z=\frac{\pi d^4}{32}, \;\; 环形：I_z=\frac{\pi D^4}{32}(1-\alpha^4)，其中\alpha=\frac{d}{D}. \]

平行移轴公式

\[I_y = I_{yc} + a^2A \]

组合图形惯性矩公式

\[I_y = \sum I_{yi}, \;\; I_z = \sum I_{zi} \]

惯性半径

\[i_y = \sqrt{\frac{I_y}{A}}, \;\; i_z = \sqrt{\frac{I_z}{A}} \]

对于圆截面

\[i_y = \frac{d}{4} \]

杆件拉伸

依次得到：

\[比例极限\sigma_p,\;弹性极限\sigma_e,\;屈服极限\sigma_s,\;强度极限\sigma_b,\; \]

伸长率

\[\delta=\frac{l_1-l}{l}\times 100\% \]

断面收缩率

\[\psi=\frac{A-A_1}{A}\times 100\% \]

抗拉刚度

\[EA \]

\[比例关系：\sigma=E\varepsilon \]

\[拉伸变形量： \Delta l=\frac{F_Nl}{EA} \]

泊松比

\[\mu=-\frac{\varepsilon'}{\varepsilon},\;\;-1\le \mu\le\frac{1}{2} \]

理论应力集中因数

\[K=\frac{\sigma_{max}}{\sigma} \]

剪切强度校核

\[\tau=\frac{F_s}{A}\le[\tau] \]

挤压强度校核

\[\sigma_{bs}=\frac{F}{A_{bs}}\le[\sigma_{bs}] \]

轴的扭转

外力偶矩

\[\{M_e\}_{N\cdot m} = 9549\frac{\{P\}_{kW}}{\{n\}_{r/min}} \]

切变模量

\[G = \frac{E}{2(1+\mu)} \]

圆轴扭转

\[\tau_p=\frac{T\rho}{I_p},\;\;\varphi = \frac{Tl}{GI_p} \]

对于圆轴：

\[I_p=\frac{\pi d^4}{32} \]

抗扭截面系数

\[W_t=\frac{I_p}{R}=\frac{\pi D^3}{16}(1-\alpha^4) \]

强度条件

\[\tau_{max} = \frac{T_{max}}{W_t}\le [\tau] \]

刚度条件

\[\varphi_{max}'=\frac{T_{max}}{GI_p}\times\frac{180^{\circ}}{\pi}\le[\varphi'] \]

抗扭刚度

\[GI_p \]

其中 \(I_p\) 是截面对扭转轴的极惯性矩。

梁的弯曲

梁弯曲正应力

\[\sigma_{max} = \frac{M_{max}y_{max}}{I_z}=\frac{M_{max}}{W}\le [\sigma] \]

抗弯截面系数

\[W=\frac{I_z}{y_{max}} \]

梁弯曲切应力

\[\tau=\frac{F_sS_z^*}{I_zb} \]

抗弯刚度

\[EI \]

其中 \(I\) 是截面对中性轴的惯性矩。

转角 \(\theta\) 与挠度 \(\omega\)

积分微分关系：

\[q\xrightarrow{\int}F_s\xrightarrow{\int}M\xrightarrow{\int}EI\theta\xrightarrow{\int}EI\omega \]

其中 \(q\) 为力的线密度，\(F_s\) 为剪力，\(M\) 为弯矩，\(EI\) 为抗弯刚度，\(\theta\) 为转角，\(\omega\) 为挠度。

微元体

任意斜截面应力

\[\sigma_\alpha=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos{2\alpha}-\tau_{xy}\sin{2\alpha} \]

\[\tau_{\alpha} = \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin{2\alpha}+\tau_{xy}\cos{2\alpha} \]

主平面、主应力

\[\tan{2\alpha_0}=-\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} \]

\[\left. \begin{aligned} \sigma_{max} \\ \sigma_{min} \end{aligned} \right\} =\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} \]

最大最小切应力

\[\tan{2\alpha_1}=\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2\tau_{xy}} \]

\[\left. \begin{aligned} \tau_{max} \\ \tau_{min} \end{aligned} \right\} =\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} \]

广义胡克定律

\[\left\{ \begin{aligned} \varepsilon_1=\frac{1}{E}\left[\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)\right] \\ \varepsilon_2=\frac{1}{E}\left[\sigma_2-\mu(\sigma_1+\sigma_3)\right] \\ \varepsilon_3=\frac{1}{E}\left[\sigma_3-\mu(\sigma_1+\sigma_2)\right] \\ \end{aligned} \right. \]

强度理论

第一强度理论

\[\sigma_1\le[\sigma] \]

第二强度理论

\[\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)\le[\sigma] \]

第三强度理论

\[\sigma_1-\sigma_3\le[\sigma] \]

第四强度理论

\[\sqrt{\frac{1}{2}\left[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2\right]}\le[\sigma] \]

至少有一个方向正应力为0时

\[\sigma_{r3}=\sqrt{\sigma^2+4\tau^2}, \;\; \sigma_{r4}=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2} \]