质数

质数

定义

质数，又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

判断素数

思路：

试除法

枚举区间 \([2,n)\) 内的每个自然数，若其能被 \(n\) 整除，则 \(n\) 为合数。若均不能被 \(n\) 整除，则 \(n\) 为素数。

我们知道，除完全平方数外，一个自然数的因数一定是成对出现的，分别位于 \(\sqrt{n}\) 的两侧。而一个完全平方数，除 \(\sqrt{n}\) 外，其因数也是成对出现，同样分列其两侧。由此，我们可以得出结论：枚举一个自然数 \(n\) 可能存在的因数，只需要枚举 \([2,\lfloor \sqrt{n} \rfloor )\) 之间的整数即可。 （$\lfloor x \rfloor $ 表示向下取整）

代码：

bool isPrime(int x) {
	for (int i = 2; i <= x / i; i++)
		if (x % i == 0)	return false;
	return true;
}

小小优化：

注意到，我的代码for循环中并没有写 i <= sqrt(x); ，这是因为求平方根的函数的运算速度很慢。而且，我也没有写 i * i <= x; ，这是因为，如果 \(x\) 很大，接近 int 能存储整数大小的极限时，i * i 就有可能会超出int范围，计算出负数，使得程序出现难以发现的错误。

我用 i <= x / i; 这种写法能够成功避免以上问题，即使在C++中做除法确实比做乘法慢得多。

素数筛

当我们需要判断大量数字是否为素数时，上面的逐个判断的效率就很低下了。因此我们就需要学习更加迅速的算法来解决这类问题：筛法。以下 是两种常用的素数筛法：埃氏筛法和欧氏筛法。

法一：朴素筛（埃氏筛法）

思路：

此算法由古希腊的数学家埃拉托斯特尼发明，故称作埃氏筛法。

埃氏筛法的思路是用每个现有素数删去其倍数。这是因为每个合数的因数一定小于它本身，也就是说它一定会被比它小的素数筛掉。这样的话，最终剩下没有筛掉的数字就都是素数了。

时间复杂度：

首先有 \(n\) 个数字，这 \(n\) 个数字里是 \(2\) 的倍数的有 \(\frac{n}{2}\) 个，是 \(3\) 的倍数的有 \(\frac{n}{3}\) 个，以此类推，每次都需要筛掉 \(n\) 以内每个质数的倍数。设 \(n\) 以内最大的质数为 \(p\) ，总计算量为 \(\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{5}+\cdots+\frac{n}{p}\)，它的数量级为：

\(O(nloglogn)\)

代码：

const int N = 1e5 + 10;
bool s[N];										//s[i]表示i是否为合数（非素数）
void prime() {
	int i, j;
	s[0] = s[1] = true;							//不是素数
	for (i = 2; i <= N; i++)
		if (!s[i]) {							//是素数才筛
			for (j = i + i; j <= N; j += i)		//删去素数的倍数
				s[j] = true;
}

缺点：

一个数会被它所有的因数都删一次，存在重复计算。

举个例子：当 \(i=2\) 时，30 会被筛掉（ s[30]=true )；当 \(i=3\) 时，30会被再筛一次（ s[30]=true )；当 \(i=5\) 时，30 会被叒筛一次（ s[30]=true )，这个语句也就被重复做了 3 次。总的来说：每一个合数都会被它的所有质因数筛一次，它有几个不同的因数，它就会重复做同样的语句多少次。因此这种筛法也存在一定的改进余地。

顺理成章地，我们便引入了下一种筛法：线性筛（欧氏筛法），它可以完美避免这样的重复操作。

法二：线性筛（欧氏筛法）

思路：

n只会被它的最小质因子筛掉。

1.当 \(i\space \%\space p[j]=0\) 时，\(p[j]\) 一定是 \(i\) 的最小质因子，也是 \(i\space *\space p[j]\) 的最小质因子。

2.当 \(i\space \%\space p[j]\space \ne 0\) 时，\(p[j]\) 一定小于 \(i\) 的所有质因子，也一定是 \(i\space *\space p[j]\) 的最小质因子。

综上，无论什么情况，任何一个合数，一定会被其最小质因子筛掉。

时间复杂度：

\(O(n)\)

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1e7;
int p[N], t = 0;
bool s[N];			//0表示是质数
void prime(int n) {
	int i, j;
	s[0] = s[1] = 1;						//不是素数
	for (i = 2; i <= n; i++) {
		if (!s[i])	p[++t] = i;				//下一行用除法是防止 爆int
		for (j = 1; p[j] <= n / i; j++) {	//一个数会被它最小的因数删掉，线性筛
			s[i * p[j]] = 1;
			if (i % p[j] == 0)	break;
		}
	}
}