协方差矩阵

协方差矩阵（Covariance Matrix）是统计学中用于描述多个随机变量之间关系和变异性的重要工具。它是一个对称矩阵，汇总了所有变量对的方差和协方差信息。

1. 定义和作用

• 方差（Variance）：度量单个变量自身的波动程度，位于矩阵的对角线上。
• 协方差（Covariance）：度量两个不同变量之间的线性关系强度和方向，位于矩阵的非对角线上。
  

协方差矩阵提供了一种紧凑的方式来理解多维数据的结构、分布和变量之间的相互依赖性。

2. 数学公式

半正定性参考资料

3. 应用场景

协方差矩阵在多个领域有广泛应用：

• 主成分分析（PCA）：PCA 利用协方差矩阵的特征值分解来识别数据中的主要变异方向（主成分），用于数据降维和特征提取。
• 多元正态分布：协方差矩阵是描述多元正态分布（高斯分布）的关键参数之一。
• 金融工程：在投资组合理论中，协方差矩阵用于衡量不同资产回报率之间的关系，以优化风险和回报。
• 机器学习：在线性判别分析（LDA）和各种聚类算法中都有应用。 

参考资料：

1.半正定性