半正定性

半正定性（Positive Semi-definiteness）是线性代数中的一个数学性质，主要用于描述实对称矩阵（或复数域上的 Hermitian 矩阵）。

1. 定义

对于一个实对称矩阵𝐀（𝑛×𝑛维），如果对于任意非零的实向量 𝐱（𝑛×1维），以下二次型（Quadratic Form）恒成立，则称矩阵 𝐀
具有半正定性，即为半正定矩阵（Positive Semi-definite Matrix, PSD）：

𝐱^𝑇𝐀𝐱 ≥ 0

其中，𝐱^𝑇是向量 𝐱 的转置。 

如果上述不等式是严格大于零（𝐱^𝑇𝐀𝐱 ≥ 0），则该矩阵称为正定矩阵（Positive Definite Matrix, PD）。半正定性允许二次型结果为零。

2. 关键性质

判断一个矩阵是否为半正定矩阵有几种等效的方法：

1）. 特征值（Eigenvalues）：一个对称矩阵是半正定的，当且仅当它所有的特征值都是非负数（即 𝜆_𝑖 ≥ 0 ）。如果所有特征值都严格大于零，则是正定矩阵。

2）. 主子式（Principal Minors）：矩阵的所有主子式（包括顺序主子式和非顺序主子式）都必须是非负数。

3）. 乔列斯基分解（Cholesky Decomposition）：一个矩阵是半正定的，当且仅当它可以被分解为𝐀=𝐋𝐋^𝑇或𝐀=𝐂^𝑇𝐂的形式，其中𝐋或𝐂是一个矩阵（可能不是方阵或下三角矩阵）。 

3. 协方差矩阵的半正定性

在统计学中，协方差矩阵的一个基本性质就是它永远是半正定的。

这是因为协方差矩阵度量的是变异性，而任何形式的方差（变异程度）都不可能是负数。二次型𝐱^𝑇𝐀𝐱实际上可以被解释为某种线性组合的方差，而方差的定义保证了其结果必然大于等于零。 

• 直观理解：如果协方差矩阵是正定的，意味着所有的随机变量之间都是线性独立的。
• 如果协方差矩阵是半正定但不是正定的（即至少有一个特征值零），这意味着至少有一个变量可以被表示为其他变量的精确线性组合（存在线性相关性），这在实际数据分析中并不罕见。