特征提取之主成分分析PCA

主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种广泛使用的无监督学习算法，主要用于数据降维（Dimensionality Reduction）。 

PCA 的核心目标是通过线性变换，将原始数据投影到一个新的坐标系统中。在这个新系统中，数据的大部分方差（信息量）被集中在几个新的坐标轴上，这些新的坐标轴被称为主成分（Principal Components）。

1. PCA 的核心原理

PCA 的基本思想可以概括为：

1. 最大化方差：找到一个新的坐标轴（第一个主成分），使得数据投影到这个轴上的方差最大化。方差最大意味着保留的信息量最多。
2. 正交性：找到第二个主成分，它必须与第一个主成分正交（垂直），并捕获剩余数据中最大的方差。
3. 降维：重复这个过程，直到找到所需数量的主成分。由于大部分信息被集中在前几个主成分中，我们可以选择保留这些最重要的成分，而忽略方差较小的后续成分，从而达到降维的目的。
   

2. PCA 的工作流程

PCA 的实现通常遵循以下步骤：

1. 标准化（Standardization）：对原始数据进行标准化处理（均值为 0，方差为 1），以消除不同特征尺度差异的影响。这是关键的第一步。
2. 计算协方差矩阵（Covariance Matrix）：计算数据集中各个特征之间的协方差矩阵，该矩阵描述了特征之间的相关性。
3. 计算特征值和特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
   • 特征向量：这些向量定义了新的主成分轴的方向。
   • 特征值：每个特征值对应一个特征向量，它衡量了沿着该主成分轴的数据方差大小。特征值越大，该主成分越重要。
4. 排序和选择主成分：将特征值按降序排列。根据累计贡献率（Cumulative Explained Variance）或预设的维度数量，选择前𝐾个最大的特征值及其对应的特征向量。
5. 投影到新空间（降维）：利用选定的K个特征向量（投影矩阵），将原始数据集投影到新的𝐾维子空间。

3. PCA 的优缺点与用途

优点：

• 减少计算复杂性：降维后的数据量更小，可以加快后续模型的训练速度。
• 去除冗余信息：通过将相关特征组合成独立的主成分，减少了数据的冗余性。
• 降低过拟合风险：减少特征数量可以帮助简化模型，一定程度上防止过拟合。
• 数据可视化：高维数据难以可视化，PCA 可以将数据降至 2 维或 3 维，便于绘制散点图进行观察和分析。
  

缺点：

• 可解释性差：新的主成分是原始特征的线性组合，通常难以像原始特征那样直观解释其物理意义。
• 信息损失：降维过程不可避免地会丢失一些信息，选择合适的维度𝐾是一个权衡。
• 对异常值敏感：PCA 基于方差，而方差容易受到异常值的影响。
  

总结

PCA 是一种强大的数据预处理技术，它通过找到数据方差最大的方向来实现降维。它在数据压缩、噪声去除、可视化和提高模型效率方面有着广泛的应用。

参考资料：

1《统计学》

2. 《机器学习实践》