图论

图论 Graph Theory

基础

  • 图的遍历

    A Path in A Dictionary：找出最小字典序简单路径，对于每个点，按照字典序搜索下一个点，如果第一次搜这点却不能到达终点，那下次就没有必要搜索

  • 建图思想
    Train Wreck:任意入栈后的栈不能相同，那么模拟，可以构造出一个树来表示所有时刻的栈，那么此时就可以由此构造一个图来表示，方便后续的处理

  • 思维题
    B - Triangle Toggle : 注意到一次操作，对顶点的黑边数的影响分别是0，-2，+2，，所以最终一个顶点最大的黑边数与初始黑边数同奇偶

树 Tree

  • 基础
    在树（或二叉树等树形结构）中，节点的 “度”指的是该节点拥有的子节点的数量

    叶节点，叶节点是度为0的节点：D. Arboris Contractio:最终的图是菊花图，因此找出最小的点使得其直接相连的非叶节点最少
    -二叉树

    1. 对于任意二叉树，结点总数n由度为 0（叶子结点）、度为 1、度为 2的结点数之和组成
    2. 对于任意二叉树，度为 0 的结点数比度为 2 的结点数多 1

  • 计数问题
    Pair Counting: 理解好题意，题解
    F. Tree, TREE!!!：注意集合是怎么构成的

树的直径

  1. 两遍dfs .第一次dfs，任取一个点，找到离开该点距离最大的点，第二次dfs，以该点为起点，找到离该点最远的点，此时两点距离即为树的直径
  2. 树形dp .记录每一个u的向子树延申的最长路和次长路，直径就是max(最长路和次长路之和)

3760. 最大剩余油量:树形dp做法，求权值最大值

并查集

最近公共祖先

倍增法:

倍增法虽然比树剖法慢，但是也有优点，比如可以求第几级祖先：

点击查看代码 ``` ll kth(ll u,ll k){//u的往上走第k个祖先 for(int i=0;i<=20;++i){ if((k>>i)&1) u=f[u][i]; } return u; } ```

F - Sum of Mex：题解，直接求不易，考虑贡献法，先找出包含[0,x]的最小链，考虑左右端点子树点的数量，因为任取两个子树的端点能够包含这条链，从而对答案有贡献，特殊考虑x是端点的情况，不包含该链的子树的其他点都可以考虑选取作为一个端点，于是不断扩大[0,x+1],....,[0,n]，更具体看题解和代码

dfs序

树链剖分：

小红的树不动点：不断找满满足第i个点是不动点子树的深度dep，会有个dep个子树满足第i个点是不动点子树

利用最近公共祖先求树的简单路径

点击查看代码 
	return dep[u]+dep[v]-dep[lca(u,v)];

最小生成树

一般有两种算法：Kruskal算法和Prim算法
次小生成树:题解

  • 增加理解：AcWing 346. 走廊泼水节:加深你对最小生成树边权的理解，两个完全图（节点数分别是a,b）合并成完全图需要a*b个边
  • 超级源点：应对既有点权还有边权，求最小值时，将点权转化为由超级源点（一般为0）指向该点的边权，再求最小生成树
    练习题:
    1. [USACO08OCT] Watering Hole G
    2. CF1245D. Shichikuji and Power Grid
  • 最大生成树：有时候需要构造最大生成树.
    连通块的思想：
  • 最小限度生成树：先不连s，划分成连通块求最小生成树，再相连
  • 野餐规划:上一题是恰好k个，这一题是可以[1,k]个

上述两题的实现在于同时记录并查集合并时边的信息，利用冗余信息优化解题

异或最小生成树：

图论

拓扑排序

拓扑排序（Topological Sorting）是针对有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的一种排序方式。在这种排序中，图中的所有顶点被排列成一个线性序列，满足若从顶点A到顶点B有一条路径，则顶点A必须在序列中出现在顶点B之前。这样的序列称为满足拓扑次序的序列，或简称为拓扑序列。

  • 基础
    拓扑序：
    构造有向无环图：有向边若可以构成拓扑序，那么无向图就可以分配方向构成拓扑序视频题解

    C. Max Tree：因为是树，所以无环，题目的条件仅仅让你决定边的方向，于是形成拓扑图，以此来决定答案

  • 与状态压缩结合
    可达性统计

E. Minimal Labels：直接拓扑排序的话有后效性贪心是错误的，反向建图消除后效性就可以贪心了，因为当前选择最小值，会影响之后选择最小值，而反向建图则不会
AcWing 3813. 最大路径权值

最短路

  • Floyd算法
    Floyd算法中使用前k个节点更新最短路的思维：

  • dijkstra算法

    • 最短路模板
    • 次短路
      次短路基于最短路算法，再更新最短路的同时记录次短路
    • 最短路计数：最短路距离更小方案数直接由前一个点转移，最短路距离相同累加方案数
    • 建反图/反向遍历：可以将原图建在每个点+n之后
      邮寄员送信
      3772. 更新线路:反向建图，根据给定路径判断，如果路径上当前的点到下一个点在某个一最短路，那么最小导航不必更新，如果当前点由多个点转移而来，那么最大次数可以更新。如果两点之间不在同一个最短路上，那么必然导航更新（类似于最短路计数）
      AcWing 3797. 最大化最短路:

  • spfa算法: 负环

    • [NOIP 2009 提高组] 最优贸易:有环就可能需要用到spfa，双向spfa

      此题也启发我们，最短路算法不一定用来求两点之间最短距离，也可以用来求两点之间路径上的最大值或者最小值

    • SLF优化算法.道路与航线:板子优化

  • 分层图:这一层到下一个层，为出现的特殊情况，分多少层取决于出现的次数

    • 通信线路
    • [NOIP 2009 提高组] 最优贸易: 此题亦可用分层图来写，第一层到第二层同一点的边权为水晶球的负值，表示买入，第二层到第三层同一点的边权为水晶球的正值，表示卖出，这样就形象地表示买入卖出，到3*n的点最短路就是赚的钱
    • 分层图有时候会出现内存不够的情况
      • 可以考虑建立中转节点来实现层与层的转化，同时也不必使每一层都完整，离散化点的编号
      • 或者只分两层，滚动求最短路，Asia EC Online 2025 (I) M. Teleporter

  • 异或最短路
    G. Shortest Path Problem?:参考题解，需要先学习线性基

  • 状压最短路
    G. Rudolf and CodeVid-23

  • 最短路树
    边的删减:求完单源最短路会形成一个棵树，保留k条边最多有k+1个顶点，再树中从单源找一个k个点形成的连通块就行

图论的连通性

连通性:主要考察连通性，割点，割边，缩点

连通图的特性：

  1. 无向连通图：核心是 “无孤立点”（n≥2 时度≥1）；
  2. 有向强连通图：核心是 “双向可达”（n≥2 时入度≥1 且出度≥1）；
  3. 有向弱连通图：核心是 “无向连通”（对入度 / 出度无约束）；
  4. 单点图：所有连通类型中，度（入度 / 出度）均为 0，是万能特例。

  • 连通性
    图在建立时的连通性就在变化：
    P2700 逐个击破：该题给定K个点不能连通，逆向思考，如果建图的时候，保证这个k个点始终不连通，那么就达成了目标

    连通分量
    图的连通分量:难点主要在遍历联通的点上，从二进制角度思考，对于整数x,应该遍历x取反后，所有1的位置组成的二进制子集。题解

  • 缩点
    模仿者:简单题
    P2812 校园网络【[USACO]Network of Schools加强版】:简化成DAG图，对于问题 A 答案显然为入度为 0 的点的个数，对于问题 B 。我们要把它变成连通图，连通图需要满足：没有入度为 0 的点，没有出度为 0 的点，考虑入度为 0 和 出度为 0 的点两两匹配，则需要匹配 max{入度为 0 的点,入度为 1 的点 }次。

  • 割点
    P3469 [POI 2008] BLO-Blockade:考察连通块的思想，tarjan算法，对于去除i点之后有多少个不能连通的（u，v）,首先它本身不能与剩下n-1个点连通，其次对于他的一个子树内的所有点不能与其他点相连，最后除去他的所有子树节点的节点不能与其他点相连

二分图

P3386 [模板]二分图最大匹配：利用增广路增加匹配
P2071 座位安排: 人是一半图，座位是一半图
P372. 棋盘覆盖: 注意到，骨牌覆盖的两点一定是i+j奇偶不同，所以可以考虑根据奇偶性分为两个子集，每一条连接的边就是一个骨牌，最大匹配就是最多骨牌

网络流

Edmonds−Karp增广路算法 和 Dinic算法
P3376 【模板】网络最大流

posted @ 2025-10-05 13:18  归游  阅读(17)  评论(0)    收藏  举报