几类广义积分的计算

广义积分清单

积分表达式	结果	计算方法
\(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}dx\)	\(\sqrt{\frac{\pi}{a}}, \ a>0\)	含参积分法（高斯积分）
\(\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos(bx)dx\)	\(\frac{a}{a^2+b^2}, \ a>0\)	含参积分法（参数求导）
\(\int_{0}^{\infty} x^{s-1} e^{-x}dx\)	\(\Gamma(s), \ \Re(s)>0\)	含参积分法（Gamma函数）
\(\int_{0}^{1} x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}dx\)	\(B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\)	含参积分法（Beta函数）
\(\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{1+x}dx\)	\(\pi \csc(\pi s), \ 0<s<1\)	含参积分法（Mellin型）
\(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1}\)	\(\pi\)	留数法（闭合上半圆）
\(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i a x}}{x^2+1}dx\)	\(\pi e^{- | a | }\)	留数法（Jordan引理）
\(\text{p.v.}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx\)	\(\pi\)	留数法（主值积分）
\(\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4+1}\)	\(\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\)	留数法（四个单位根）
\(\int_{0}^{\infty} \frac{\ln x}{1+x^2}dx\)	\(0\)	复变函数方法（分支积分）
\(\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\cos(ax)dx\)	\(\frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-a^2/4}\)	复变函数方法（解析延拓）
\(\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx\)	\(\frac{\pi}{2}\)	复变函数方法（Fourier型）
\(\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(ax)}{1+x^2}dx\)	\(\frac{\pi}{2}e^{- | a | }\)	复变函数方法（留数+实部提取）
\(\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx\)	\(\Gamma(s)\zeta(s), \ \Re(s)>1\)	复变函数方法（Mellin变换）
Dirichlet 积分 \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sin x}{x}dx\)	\(\frac{\pi}{2}\)	Fourier/留数法
Fresnel 积分 \(\int_{0}^{\infty} \cos(x^2)dx\)	\(\sqrt{\tfrac{\pi}{8}}\)	复变函数（转高斯型）
Fresnel 积分 \(\int_{0}^{\infty} \sin(x^2)dx\)	\(\sqrt{\tfrac{\pi}{8}}\)	复变函数
泊松积分 \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(ax)}{x} e^{-bx}dx\)	\(\arctan!\big(\tfrac{a}{b}\big), \ b>0\)	含参积分法
Bessel 函数积分 \(\int_{0}^{\pi} e^{a\cos\theta}\cos(n\theta),d\theta\)	\(\pi I_n(a)\)	特殊函数定义（Bessel）
Airy 积分 \(\int_{0}^{\infty} \cos!\left(\tfrac{x^3}{3}+tx\right)dx\)	\(\pi ,\mathrm{Ai}(t)\)	特殊函数方法（Airy函数）
傅里叶积分 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} e^{i a x}dx\)	\(\sqrt{\pi} e^{-a^2/4}\)	高斯积分推广
Lerch 积分 \(\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{1-e^{-x}}dx\)	\(\Gamma(s)\zeta(s)\)	复变函数/级数展开

---

分类总结

• 含参积分法 → 高斯型、Gamma、Beta、指数型、Mellin 形式
• 留数法 → 有理函数、带指数因子的傅里叶积分、主值积分
• 复变函数方法 → 对数积分、三角积分、ζ 函数积分、Fresnel/Airy/Bessel 等特殊函数积分

---

系统介绍 三类经典方法（含参积分法、留数法、复变函数法）， Feynman’s trick（Feynman 参数法）。这几种方法几乎构成了处理“特殊广义积分”的核心武器。

---

一、含参积分法（parameter differentiation / introducing parameter）

核心思想：
把难以直接求的积分写成某个“含参函数”的特殊值，通过对参数求导/积分，再还原结果。

典型步骤：

1. 引入参数 (a, b, s) 等，把原积分转化为一个更一般的含参积分 (I(a))。
2. 对 (I(a)) 进行微分或积分，得到与原积分相关的简单形式。
3. 最终再积分还原或取极限。

例子：

\[I(a) = \int_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos(bx)dx = \frac{a}{a^2+b^2}, \quad a>0 \]

如果要算

\[\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(bx)}{x}, e^{-ax}dx \]

可以通过对 \(I(a)\) 对 \(b\) 或 \(a\) 求导来得到。

应用场景：

• 高斯积分及其推广
• Gamma、Beta、Mellin 积分
• Fourier/Laplace 变换中的衰减积分

---

二、留数法（Residue theorem）

核心思想：
利用复平面上的围道积分，把实轴上的广义积分转化为极点处留数的和。

典型步骤：

1. 构造一个合适的复平面函数 (f(z))，使得实轴上的积分是围道的一部分。
2. 选择闭合路径（通常是半圆或钥匙孔形），保证积分在无穷远处消失（Jordan 引理）。
3. 应用留数定理：
   \[\oint f(z)dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) \]

4. 提取实轴上的部分（实部或虚部），得到原积分。

例子：

\[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i a x}}{x^2+1}dx = \pi e^{-|a|} \]

做法：取 \(f(z)=\frac{e^{iaz}}{z^2+1}\)，闭合于上/下半平面，利用留数定理即可。

应用场景：

• 有理函数积分
• Fourier 积分
• 主值积分（奇点在实轴上）

---

三、复变函数方法（Complex analysis methods）

核心思想：
有些积分不能直接用留数法，而是需要复分析的更复杂工具（分支切割、解析延拓、特殊函数定义）。

典型技巧：

• 分支切割：例如 \(\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{1+x^2}dx\)，需要构造钥匙孔型路径。
• 解析延拓：利用 \(\Gamma(s)\)、\(\zeta(s)\) 等函数的解析延拓。
• 变形积分路径：例如 Fresnel 积分 \(\int_{0}^{\infty}\cos(x^2)dx\)，通过旋转路径转化为高斯积分。

例子：

\[\int_{0}^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx = \Gamma(s)\zeta(s), \quad \Re(s)>1 \]

应用场景：

• 对数积分、分支积分
• ζ 函数、Mellin 变换
• Fresnel、Airy、Bessel 积分

---

四、Feynman’s Method（Feynman 参数法）

核心思想：
这是物理学家费曼提出的一种计算复杂积分/多重积分的技巧，尤其在量子场论的 Feynman 图积分里常用。
它的本质是 引入积分参数来统一分母或指数，从而简化积分结构。

两个主要形式：

1. 分母统一公式
   对于两个分母，利用：

   \[\frac{1}{AB} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{[xA + (1-x)B]^2} \]

   推广到 (n) 个分母：

   \[\frac{1}{A_1 A_2 \cdots A_n} = \frac{\Gamma(n)}{\Gamma(1)^n} \int_{0}^{1}\cdots\int_{0}^{1} \frac{\delta(1-\sum x_i),\prod dx_i}{\left(\sum x_i A_i\right)^n} \]

2. 指数积分表示法
   通过

   \[\frac{1}{A} = \int_{0}^{\infty} e^{-At},dt, \quad A>0 \]

   把分母变成指数积分，然后再处理。

经典例子：
计算

\[\int \frac{d^4k}{(k^2+m^2)((p-k)^2+m^2)} \]

在量子场论里，可以用 Feynman 参数化：

\[\frac{1}{AB} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{[xA+(1-x)B]^2} \]

把两个分母合并为一个，从而简化动量积分。

在数学上的应用：

• 把复杂分母的积分转化为 Gamma/Beta 函数
• 在概率论和统计物理中化简分布积分
• 在数论和分析中连接 ζ 函数与 Mellin 积分

---

五、总结比较

• 含参积分法：适合对积分结构比较“整齐”的函数，引入参数后通过微分或积分简化。
• 留数法：强大，适合有理函数、傅里叶型积分、主值积分。
• 复变函数方法：更广义，需要处理对数、分支、特殊函数，Fresnel/Bessel/Airy 等经典积分必备。
• Feynman 参数法：主要用于带复杂分母的积分（尤其多变量），在物理学中常见，也可以看作“推广版的含参积分法 + Beta/Gamma 函数技巧”。

---