关于PDE

\[\textbf{泊松方程可解性条件总结表} \]

\[\Delta u(x) = f(x), \quad x \in \Omega \]

\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{区域} & \textbf{边界条件} & \textbf{可解性条件} & \textbf{解的唯一性} \\ \hline \text{有界区域 } \Omega \subset \mathbb{R}^n & \text{Dirichlet} \ (u|_{\partial\Omega} = g) & f \in L^2(\Omega) \ (\text{或更光滑}) & 唯一解 \\ \hline \text{有界区域 } \Omega \subset \mathbb{R}^n & \text{Neumann} \ (\partial_n u|_{\partial\Omega} = h) & \int_\Omega f(x)\,dx = \int_{\partial\Omega} h\,dS & 唯一性差1个常数 \\ \hline \mathbb{R}^n \ (\text{无界区域}) & \text{无边界条件} & f(x) \ \text{需足够快衰减，否则解可能不存在} & 一般不唯一，需要加衰减条件 \\ \hline \mathbb{T}^n \ (\text{n维环面, 周期边界}) & u(x+e_i)=u(x) & \int_{\mathbb{T}^n} f(x)\,dx = 0 & 唯一性差1个常数 \\ \hline \end{array} \]

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说明：

1. Dirichlet 问题：总是可解，且解唯一。
2. Neumann 问题：需满足积分相容条件，否则无解；解存在时差一个常数。
3. 无界区域：要求 \(f\) 在无穷远衰减，否则积分公式不收敛。
4. 周期边界条件：必须满足 \(\int f = 0\)，否则不可能有周期解。