数列上极限和集合上极限

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\section{数列子列的概念}

在数列\(x_n\)中任意抽取无限多项,并保持这些项在原数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列\(x_n\)的子数列(或简称"子列")

数列\(x_n\)的子数列一般用符号\(x_{n_k}\)表示,其中下标\(n_k\)表示\(x_{n_k}\)在原数列中的项数,而"下标的下标"\(k\)则表示\(x_{n_k}\)在子数列中的项数。由于某项在原数列中的位置不可能比在子列中更"靠前",故有\textbf{\textcolor{red}{\(n_k\ge k\)}}

例如在正整数数列\(x_n=n\)中取全部偶数项,则构成子列2,4,6,8....,即\(x_{2k}=2k\),这里\(n_k = 2k\),注意4这一项在原数列中是第4项,而在子数列中是第2项

\section{数列的上极限}

\[a:= \overline{\underset{n \to \infty}{lim}}a_n= \underset{k \to \infty}{lim}\underset{n \ge k}{sup} \,a_n = \underset{k \ge 1}{inf} \underset{n \ge k}{sup } \,a_n := b \]

\textcolor{red}{Remark: 数列\(a_n\)的上极限即{\(a_n\)} 的聚点全体作成的集合的上确界}

Proof: 设\(E\)为{\(a_n\)}的聚点集,任取\(x \in E\),则存在 \(a_{n_k}\),使得 \(a_{n_k} \to x, k \to \infty\),有 \(a_{n_k}\le \underset{n \ge k}{sup} \, a_n\)

则两边同取极限\(k \to \infty\),得(极限有保号性)

\[x = \underset{k \to \infty}{lim}a_{n_k} \leq \underset{k \to \infty}{lim}\underset{n \ge k}{sup} \, a_n \]

而\(\underset{n \ge k}{sup} \, a_n\)是单调递减序列,则
\(\underset{k \to \infty}{lim}\underset{n \ge k}{sup} \, a_n = \underset{k \ge 1}{inf} \, \underset{n \ge k}{sup} \, a_n \)

\textcolor{red}{Remark:单调递减序列取下确界与取极限是一样的}

从而 $ x \le b\(,由\)x$任意性,得 $ a \le b$

现往证$ b \le a\(, 只需说明\) b \in E$ ,记 $b_k = \underset{n \ge k}{sup}, a_n $,表示所有子列的上确界

则有 $a_{n_k}\le b_k \(, 由\)b_k \(上确界的定义,得 \)\forall \epsilon > 0, \exists a_{n_k}, , s.t.\( \) b_k < a_{n_k} + \frac{\epsilon}{2}$

也即
\(\forall \epsilon > 0, \exists \, K_1, whenever \, k > K_1 , s.t.\)

\[a_{n_k} \le b_k < a_{n_k} + \frac{\epsilon}{2} \]

同时有$ \underset{k \to \infty}{lim} , b_k = b \(,则\) \forall \epsilon > 0, \exists K_2, whenever , k > K_2$, s.t.

\[| b_k - b| < \frac{\epsilon}{2} \]

从而有 $ \forall \epsilon > 0, \exists K= max{K_1,K_2}, whenever , k > K$, s.t.

\[ |a_{n_k} -b| \le |a_{n_k} - b_k| + |b_k -b| < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} = \epsilon \]

证毕

\section{数列上极限和集合上极限}

\subsection{数列上极限的等价定义}

$ \overline{\underset{n \to \infty}{lim}}a_n $ \qquad \(\underset{k \to \infty}{lim}\underset{n \ge k}{sup} \,a_n\) \qquad \textcolor{red}{$\underset{k \ge 1}{inf} \underset{n \ge k}{sup } ,a_n $ }

数列\(a_n\)的上极限即{\(a_n\)} 的聚点全体作成的集合的上确界

上极限是所有收敛⼦列极限的上确界

\subsection{集合上极限的等价定义}

$ \overline{\underset{n \to \infty}{lim}}A_n $ \qquad $\underset{n \to \infty}{lim} , sup , A_{n} $ \qquad \textcolor{red}{$ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}}\overset{\infty}{\underset{m=n}{\bigcup}}A_m$}

{\(x:\) 存在无穷多个\(A_n\), 使得 \(x \in A_n\)}

{\(x: \forall N >0, \exists n> N\), 使得 \(x \in A_n\)}

注意数列上极限和集合上极限的表达

如果集合列一个比一个大,那么这个集合列的极限直观上就是取最大的那个,也就是所有集合的并;如果集合列一个比一个小,那么这个集合列的极限直观上就是取最小的那个,也就是所有集合的交;此时我们发现，\textbf{数列的上确界、下确界对于集合列而言，恰好对应于并交运算}

把适应于数列的极限的语言翻译到集合上面

定义： 一个集合序列收敛，上限集和下限集相等

\[ \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcap}}A_n \subset \underset{n \to \infty}{\underline{lim}}A_n \subset \overline{\underset{n \to \infty}{lim}}A_n \subset \overset{\infty}{\underset{n=1}{\bigcup}}A_n \]

\section{Example}
$ A_n = [0, \frac{1}{n}], n \in \mathbb{N}$

Proof:

1. 证明 \({A_n}\) 收敛 \qquad 上极限和下极限相等

2. \(\underset{n \to \infty}{lim} A_n = \{0\}\)

\section{可测函数}

连续函数：开集原像是开集

可测函数：开集原像是Lebesgue可测集