一道导数与不等式结合的题目

已知
\(e^x-(a+2)x \geqslant b-2\)对任意\(x \in R\)恒成立，则\(\dfrac{b-5}{a+2}\)的最大值为_______.

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解析：
记$f(x)=e^x-(a+2)x $，则

\[f'(x)=e^x-(a+2) \]

由于\(e^x-(a+2)x \geqslant b-2\)对任意\(x \in R\)恒成立，则函数\(f(x)\)一定有下界，从而\(a+2>0\).

此时，\(f(x)\)在\((-\infty,\ln (a+2))\)上单调递减，在\((\ln (a+2),+\infty)\)上单调递增.

因为

\[f(\ln (a+2))=a+2-(a+2) \ln (a+2) \]

所以

\[a+2-(a+2) \ln (a+2) \geqslant b-2 \]

于是

\[\dfrac{b-5}{a+2} \leqslant \dfrac{(a+2)-(a+2)\ln (a+2) -3}{a+2}=1-\ln(a+2)-\dfrac{3}{a+2} \]

记\(g(x)=1-\ln x -\dfrac{3}{x}\)，

因为

\[g'(x)=-\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}=\dfrac{3-x}{x^2} \]

所以\(g(x)\)在\((0,3)\)上单调递增，在\((3,+\infty)\)上单调递减，从而

\[g(x) \leqslant g(3)=-\ln 3 . \]

于是

\[\dfrac{b-5}{a+2} \leqslant -\ln 3 \]

而且，此时\(a=1,b=5-3\ln 3\).