轻重链剖分

轻重链剖分可以支持 \(O(n \log n)\) 预处理，\(O(\log^2n)\) 修改/查询树的一条链的信息，\(O(\log n)\) 修改/查询一个子树的信息。
由于基于线段树维护被剖开的链，轻重链剖分维护的信息必须是能用线段树来合并的。

轻重链剖分划分链的原则：

1. 对于一个非叶子节点，子树大小最大的儿子被称为重儿子。
2. 重边为所有非叶子节点与其重儿子的连边，其余的边为轻边。
3. 重边连成的链为重链。

那么对于一次链上的询问，由于不想在加入求 LCA 的步骤，所以在 \(x,y\) 不在一条重链上时，选择重链顶端更深的节点，维护这条链上的信息，并把节点跳到链顶端的父亲节点。
这和倍增求 LCA 的做法相似，只是把一步走 \(2^k\) 变成了走到链顶端的父亲。

while(top[x]!=top[y]){
    if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
    //此处为修改/查询操作 
    x=fa[top[x]];
}
//此处为处理最后一条链

（\(top_x\) 表示 \(x\) 所在重链的顶端）
考虑如何快速修改，查询：
注意到，当每次重链上的编号连续时，可以用线段树维护。
所以先 dfs 一遍，优先走每个节点的重儿子，记这个时候的 dfs序为新的编号。
此时一颗子树内的编号也一定连续，就都能用线段树维护了。

复杂度分析：

性质1：如果存在边 \(u,v\) 且 \(v\) 不是 \(u\) 的重儿子，那么 \(2*siz_v\leq siz_u\)。（\(siz_x\) 表示 \(x\) 的子树大小）
性质2：根节点到任意节点的路径上，经过的轻边和重链的个数都不超过 \(\log n\) 个。
考虑证明性质2，由性质1，每走一条轻边，子树大小减少一半，所以轻边不超过 \(\log n\) 个，由于重链一定是极大连续的，所以重链也不超过 \(\log n\) 个。
由性质2，一次操作的复杂度为 \(O(\log^2 n )\)。

P3384 【模板】轻重链剖分/树链剖分
模板，线段树维护区间加，区间和。

P2486 [SDOI2011]染色
模板，线段树维护左右端点颜色，区间有多少颜色段，一个标记维护区间修改。
链之间信息的合并与线段树信息合并类似，要记录当前链顶端的颜色，合并时判断。

P4211 [LNOI2014]LCA
先转化题意，节点的深度可以理解为从根节点到节点的链上区间加1，然后求和。
易想到莫队，但这样的复杂度为 \(O(n*\sqrt n*\log^2n)\)
我们发现区间信息只维护一个和，也就是说可以 \(O(1)\) 加减，即：

\[\sum_{i=l}^r dep_{lca(i,z)}=\sum_{i=1}^r dep_{lca(i,z)}-\sum_{i=1}^l dep_{lca(i,z)} \]

所以左端点一定，就无需莫队，将询问离线，然后从小到大加入节点，遇到询问有关的就查询更新。

P5305 [GXOI/GZOI2019]旧词
上道题的加强版，考虑 \({dep_x}^k\) 的意义。
上道题能转化为区间加以是因为 \(dep_{fa_x}+1=dep_x-1+1=dep_x\)，所以对于这道题，应该加上 \({(dep_x+1)}^k-{dep_x}^k\)。
也就是说，要维护 \(val_x*a_x\) ，支持区间 \(a\) 数组加1和区间查。
用线段树维护即可。