486. 预测赢家

486. 预测赢家

给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家 1 从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家 2 继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家 1 拿，…… 。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。

给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例 1：

输入：[1, 5, 2]
输出：False
解释：一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 False 。

示例 2：

输入：[1, 5, 233, 7]
输出：True
解释：玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233 。
     最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家 1 可以成为赢家。

分析

动态规划 参考leetcode大佬的解答

• 状态定义

  dp[i][j]表示在nums坐标[i, j]中，玩家1“先手”时能取到的最多分数。
  

• 状态转移

  博弈论中的minmax思想：玩家1为了胜利总取max，玩家2为了阻碍玩家1胜利,下一轮使玩家1 min。dp[i][j]为以下两种情况的最大值：

  • 状态 1

    - 状态1： 
        玩家1“先手”取最左端的元素nums[i]，此时剩余元素坐标为[i+1, j]。
        玩家2“后手”为了阻碍玩家1的胜利，即使玩家1的得分最少，要在以下两种状态中取min：
            - 状态1.1：玩家2取元素nums[i+1]，导致在下一轮中玩家1最多得分dp[i+2][j]
            - 状态1.2：玩家2取元素nums[j]，导致在下一轮中玩家1最多得分dp[i+1][j-1]
    	状态1 = nums[i] + min(状态1.1, 状态1.2)
    

  • 状态 2

    - 状态2： 
        玩家1“先手”取最右端的元素nums[j]，此时剩余元素坐标为[i, j-1]。
        玩家2“后手”为了阻碍玩家1的胜利，即使玩家1的得分最少，要在以下两种状态中取min：
            - 状态2.1：玩家2取元素nums[i]，导致在下一轮中玩家1最多得分dp[i+1][j-1]
            - 状态2.2：玩家2取元素nums[j-1]，导致在下一轮中玩家1最多得分dp[i][j-2]
    状态2 = nums[j] + min(状态2.1, 状态2.2)
    

  玩家1为了胜利在所有状态中取max
  dp[i][j] = max(状态1，状态2)
  

• 初始值

  当nums中只有一个元素时：
  	dp[i][i] = nums[i]
  当nums中只有两个元素时：
  	dp[i][i+1] = max(nums[i], nums[i+1])
  

  也可以直接返回True，因为玩家一先手

• 返回值

  玩家1在nums中能取到的最多分数是否大于等于玩家2的分数：
  	dp[0][len(nums)-1] >= sum(nums) - dp[0][len(nums)-1]
  即是否大于等于总分数的一半：
  	dp[0][len(nums)-1] >= sum(nums)/2
  

python

class Solution:
    def PredictTheWinner(self, nums: List[int]) -> bool:
        if not nums: return
        n = len(nums)
        dp = [[0]*n for _ in range(n)]

        #初始化
        for i in range(n):
            dp[i][i] = nums[i]
        for i in range(n-1):
            dp[i][i+1] = max(nums[i],nums[i+1])

        #从左下角偏移位置开始 因为 要用 i+2 j-2 的数据
        for i in range(n-3,-1,-1):
            for j in range(2+i,n):
                t1 = nums[i] + min(dp[i+2][j],dp[i+1][j-1])
                t2 = nums[j] + min(dp[i][j-2],dp[i+1][j-1])
                dp[i][j] = max(t1,t2)

        return dp[0][-1] >= sum(nums)/2