偷东西的学问-背包问题


前置

不同问题求解的区别仅在与约束条件,即:

\[cell[i][j] = max(cell[i-1][j],v[i]*k_i+cell[i-1][j-k_i*w[i]]) \\ \]

\(W\) 表示总容量,\(w_i\) 表示单位物品所需容量

背包问题

背包问题(0-1背包问题)

假设你是个小偷,背着一个可装 4 磅东西的背包。 你可盗窃的商品有如下3件(摘自算法图解):

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作为一名优秀的小偷,为了让盗窃的商品价值最高,该选择哪些商品呢?

很明显,小偷需要在满足背包容量要求下,选择价值总和最大的。

使用动态规划

先解决小背包(子背包)问题,再逐步解决原来的问题

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  • 状态转移

    cell[i][j]表示前i种物品恰放入一个容量为j的背包能获得的最大价值

    image-20200513150226229

\[cell[i][j] = max(cell[i-1][j],v[i]*k_i+cell[i-1][j-k_i*w[i]]),k \in \{0,1\} \]

coding

def knapsack(goods,volume):
    dp = [[0]*(volume+1) for _ in range(len(goods))]
    
    for j in range(1,volume+1):#初始化
        if goods[0][1] <= j: #如果物品所占空间(重量)小于容量j
            dp[0][j] = goods[0][0] #第一个物品的价值

    for i in range(1,len(goods)):
        for j in range(1,volume+1):
            # 如果 物品i可以放下
            if goods[i][1] <= j:
                #当前物品价值 + 取当前物品后的剩余空间
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],goods[i][0]+dp[i-1][j-goods[i][1]])
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j]
    return dp

goods = [[1500,1],[3000,4],[2000,3]]#价值 重量
volume = 4 
knapsack(goods,volume)

结果

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将吉他和笔记本电脑装入背包时价值最高,为3500美元。

在刚才的盗窃活动中,每次可以偷的东西都是一个完整的个体,对每个物品要么选择偷,要么不偷,所以称为 0-1背包问题


可以偷商品的一部分吗(完全背包问题)

假如你在杂货店行窃,可偷成袋的扁豆和大米,但如果整袋装不下,可打开包装,再将背包 倒满。在这种情况下,不再是要么偷要么不偷,而是可偷商品的一部分。如何使用动态规划来处 理这种情形呢?

假设有如下商品(每种商品无限多)可供选择。

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略作思索,小偷发现在决定偷哪些东西时(有限空间内使偷到的东西价值最大), 动态规划 是一个不错的方法,因为:

从每种物品i 偷/不偷 (\(k_i \in \{0,1\}\))变为 偷多少单位 (\(k_i\in \{0,1,2,...,W/w_i\}\)),背包总容量 W,第i类物品占 \(w_i\) 的空间。

  • 状态转移

    image-20200513172830899

    \[cell[i][j] = max(cell[i-1][j],v[i]*k_i+cell[i-1][j-k_i*w[i]])\\k_i\in \{0,1,2,...,W/w_i\} \]

coding

def knapsack(w,v,volume):
    dp = [[0]*(volume+1) for _ in range(len(w))]
    
    for j in range(1,volume+1):
        for k in range(j//w[0]+1):
            dp[0][j] = max(dp[0][j],v[0]*k)

    for i in range(1,len(w)):
        for j in range(1,volume+1):
            temp = 0
            for k in range(j//w[i]+1):
                temp = max(temp,v[i]*k+dp[i-1][j-k*w[i]])
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j],temp)
    return dp

weight = [2,1,3] #重量
value = [5,2,4]#价值 
volume = 7

knapsack(weight,value,volume)

结果

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物以稀为贵(多重背包问题)

由于燕麦的营养价值比较高,所以只有一点点,可偷的商品受到了限制

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每种商品只有部分可供选择 \(k_i<M_i\),但问题还是

偷多少单位 (\(k_i\in \{0,1,2,...,W/w_i\}\)),背包总容量 W,第i类物品占 \(w_i\) 的空间。

多重背包问题 相比 完全背包问题多了限制条件,即可偷物品的数量。

同样使用动态规划

  • 状态转移

    \[cell[i][j] = max(cell[i-1][j],v[i]*k_i+cell[i-1][j-k_i*w[i]])\\k_i\in \{0,1,2,...,W/w_i\},k_i \leq M_i \]

coding

def knapsack(w,v,M,volume):
    dp = [[0]*(volume+1) for _ in range(len(w))]
    
    for j in range(1,volume+1):
        for k in range(min(j//w[0],M[0])+1):#增加限制条件
            dp[0][j] = max(dp[0][j],v[0]*k)

    for i in range(1,len(w)):
        for j in range(1,volume+1):
            temp = 0
            for k in range(min(j//w[i],M[i])+1):#增加限制条件
                temp = max(temp,v[i]*k+dp[i-1][j-k*w[i]])
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j],temp)
    return dp

weight = [2,1,3] #重量
value = [5,2,4] #价值 
maxk = [1,3,3] #数量
volume = 7

knapsack(weight,value,maxk,volume)

结果

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posted @ 2020-05-13 20:23  鱼与鱼  阅读(1212)  评论(0编辑  收藏  举报