12.18复习小记

  • 二分图博弈
    • 游戏规则：
    • 判定方法：当且仅当先手状态在每个最大匹配中都是匹配点时，先手必胜；否则先手必败
    • 证明：若存在某个最大匹配不包含起始点，则先手移动后的节点一定是残余图中每个最大匹配中的匹配点（否则可以将这条边加入最大匹配，使之更大，矛盾），那么后手只需按照匹配边移动即可，然后残余图的最大匹配减一，先手又陷入了存在某个最大匹配不包含起始点的境地（即原先的最大匹配减去这条匹配边）。如此以往，先手必败，后手必胜。
  • 霍尔定理
    假设\(G=(X,Y,E)\) 是二分图，且\(|X|\le |Y|\)。对于任何 \(W\subseteq X\)，记\(N_G(W)\) 为图\(G\) 中所有与\(W\) 中的顶点相邻的顶点集合。那么，\(X\)‑完美匹配存在，当且仅当\(|W|\le |N_G(W)|\)对于所有\(W\subseteq X\) 都成立。
    霍尔定理是二分图匹配理论的基石。下面我给出一个严谨且相对直观的证明。

霍尔定理（Hall's Theorem）表述

设 \( G = (U, V, E) \) 为一个二分图（\(U\) 为左部，\(V\) 为右部）。则 \(G\) 存在一个覆盖 \(U\) 中所有顶点的匹配（称为 \(U\)-完全匹配）的充要条件是：对于 \(U\) 的任意子集 \(X \subseteq U\)，其邻居集合 \(N(X) \subseteq V\) 满足

\[|N(X)| \geq |X|. \]

这个条件称为 霍尔条件。

证明

证明分为必要性和充分性两部分。

第一部分：必要性（⇒）

如果存在一个 \(U\)-完全匹配 \(M\)，那么 \(M\) 将 \(U\) 中的每个顶点 \(u\) 匹配到 \(V\) 中某个不同的顶点 \(v\)。
对于任意 \(X \subseteq U\)，这 \(|X|\) 个顶点在 \(M\) 下的像（即与它们匹配的顶点）都包含在 \(N(X)\) 中，并且互不相同。因此，

\[|N(X)| \geq |X|. \]

必要性得证。这部分是显然的。

第二部分：充分性（⇐）

假设霍尔条件对 \(U\) 的所有子集成立，我们要证明存在 \(U\)-完全匹配。我们使用数学归纳法对 \(|U|\) 进行归纳。

  • 归纳基础：当 \(|U| = 0\) 或 \(|U| = 1\) 时，结论显然成立。
  • 归纳假设：假设对于所有满足 \(|U| < m\) 的二分图，霍尔条件能推出 \(U\)-完全匹配存在。
  • 归纳步骤：现在考虑 \(|U| = m \ (m > 1)\) 且满足霍尔条件的图 \(G\)。我们考虑两种情形：

情形1：存在一个非空真子集 \(A \subset U\)，使得霍尔条件“恰好取等”，即

\[|N(A)| = |A|. \]

令 \(B = N(A)\)。

  1. 子图 \(G_1\)：考虑由顶点集 \(A \cup B\) 及其之间的边导出的子图 \(G_1\)。对于 \(A\) 的任意子集 \(X \subseteq A\)，它在 \(G_1\) 中的邻居集 \(N_{G_1}(X)\) 等于 \(N_G(X) \subseteq B\)。因此，

    \[|N_{G_1}(X)| = |N_G(X)| \geq |X|. \]

    所以 \(G_1\) 满足霍尔条件，且 \(|A| < m\)。由归纳假设，在 \(G_1\) 中存在一个覆盖 \(A\) 的匹配 \(M_1\)（且恰好匹配了 \(B\) 中所有顶点）。

  2. 子图 \(G_2\)：考虑从原图 \(G\) 中删去 \(A \cup B\) 及其关联的边后剩下的子图 \(G_2\)，其左部为 \(U' = U \setminus A\)，右部为 \(V' = V \setminus B\)。
    关键断言：\(G_2\) 也满足霍尔条件。
    反证：假设存在一个子集 \(X \subseteq U'\) 使得在 \(G_2\) 中 \(|N_{G_2}(X)| < |X|\)。那么在原图 \(G\) 中，\(X\) 的邻居集为 \(N_G(X) = N_{G_2}(X) \cup B\)，但请注意，\(X\) 与 \(B\) 可能没有边相连。实际上，如果 \(X\) 与 \(B\) 有边，那么由于 \(B = N(A)\)，这条边在 \(G_1\) 中已经被考虑了，所以 \(X\) 与 \(B\) 之间没有边。
    因此，在原图中，\(N_G(X) = N_{G_2}(X)\)。那么对于集合 \(A \cup X \subseteq U\)，有：

    \[|N_G(A \cup X)| = |N_G(A) \cup N_G(X)| = |B \cup N_{G_2}(X)| = |B| + |N_{G_2}(X)|. \]

    因为 \(B\) 和 \(N_{G_2}(X)\) 在情形1下不相交。
    由假设 \(|N_{G_2}(X)| < |X|\)，且 \(|B| = |A|\)，可得：

    \[|N_G(A \cup X)| = |A| + |N_{G_2}(X)| < |A| + |X| = |A \cup X|. \]

    这与原图 \(G\) 满足霍尔条件矛盾！因此断言成立，\(G_2\) 满足霍尔条件。并且 \(|U'| = m - |A| < m\)。

  3. 由归纳假设，在 \(G_2\) 中存在一个覆盖 \(U'\) 的匹配 \(M_2\)。

  4. 最后，将匹配 \(M_1\)（覆盖 \(A\) 和 \(B\)）与匹配 \(M_2\)（覆盖 \(U'\) 和 \(V'\)）合并。因为 \(M_1\) 和 \(M_2\) 的顶点集互不相交，它们的并 \(M = M_1 \cup M_2\) 就是原图 \(G\) 的一个覆盖 \(U = A \cup U'\) 的完美匹配。

情形2：对于 \(U\) 的所有非空真子集 \(A\)，霍尔条件都是“严格大于”，即

\[|N(A)| > |A|. \]

  1. 任意取一条边 \((u, v) \in E\)，其中 \(u \in U, v \in V\)。
  2. 考虑从 \(G\) 中删除顶点 \(u\) 和 \(v\) 及其关联的边，得到新图 \(G' = (U\setminus{u}, V\setminus{v}, E')\)。
  3. 断言：\(G'\) 也满足霍尔条件。
    对于任意 \(X \subseteq U\setminus{u}\)，它在原图中的邻居集 \(N_G(X)\) 大小至少为 \(|X|+1\)（因为情形2的严格不等式）。现在删除顶点 \(v\) 后，其邻居集大小最多减少1（仅当 \(v \in N_G(X)\) 时）。因此，在 \(G'\) 中：

    \[|N_{G'}(X)| \geq |N_G(X)| - 1 \geq (|X| + 1) - 1 = |X|. \]

    所以霍尔条件成立。
  4. \(G'\) 的左部大小为 \(m-1\)，根据归纳假设，存在一个覆盖 \(U\setminus{u}\) 的匹配 \(M'\)。
  5. 将边 \((u, v)\) 加入匹配 \(M'\)，就得到了原图 \(G\) 的一个覆盖 \(U\) 的完美匹配 \(M = M' \cup {(u, v)}\)。

在两种情形下，我们都在归纳假设下构造出了完美匹配。因此，由数学归纳法，充分性得证。

证毕。

直观理解与意义

  • 必要性：非常直观。如果一个集合 \(X\) 的“可选对象” \(N(X)\) 比它本身还少，那 \(X\) 里肯定有人匹配不上。
  • 充分性：证明的精妙之处在于分情形讨论。
    • 情形1：存在一个“临界”的子集 \(A\)，它把问题分解为两个更小的、独立的子问题。
    • 情形2：所有子集都有“盈余”，那么我们可以大胆地先匹配一条边，剩下的图依然“富裕”，归纳进行即可。

这个定理不仅在理论上是优美的，其证明思想也直接引出了寻找最大匹配的 匈牙利算法 或 基于DFS的增广路算法 的核心逻辑：不断寻找未匹配点出发的增广路，本质上就是在检查和调整是否满足霍尔条件。

posted @ 2025-12-18 10:10  glq_C  阅读(2)  评论(0)    收藏  举报