12.16复习小记

• 三元环计数
  • 给定一个竞赛图（任意两点之间有且仅有一条有向边），求包含三元环的图个数。
  • 无限制的图个数是好求的，可以考虑求不包含三元环的图个数，注意到，如果一个竞赛图包含环，那么他一定包含三元环。因此，即求不包含环路的竞赛图个数。我们把有向边看成偏序关系，那么不包含环路既这个竞赛图的元素有严格的偏序关系，即求\(n\)的排列数，结果为\(n!\)
  • 下给出严谨证明，考虑证明排列与不含三元环的图构成双射。
    • 首先，任意一个排列显然可以构成一个不含三元环的图，且不同的排列对应的图不同，即构成单射。
    • 接下来用归纳证明任意一个不包含三元环的图都可以逆映射到一个排列。如果这个图存在一个点，其向其余节点均有一条出边，那么令这个点为排列的第一个点，然后问题缩小为\(n-1\)。如果不存在这个点，那么每个点均有入边，那么随便找一个点，不断沿着它的任意一条入边回溯，最终一定会找到一个环路，故假设不成立，一定存在这个点。证毕。
  • 有意思的是，在一开始推的时候没有想到这个思路，想用化解为子问题的方法来做，结果发现了\(O(N^2)\)求\(n!\)的算法/xk
• 做题顺便复习了一下CRT，原来线性同余方程组有界的充要条件是只需要任意两个方程相容即可。证明待补（为什么ds生成的markdown在博客园不能渲染啊/yun）