【反演公式小记】

先对反演和一些简单的应用总结一些吧，更高的东西联赛前来不及搞了（悲）

二项式反演

概要

二项式反演可以看作是一种特殊的子集反演，特殊之处在于一个集合的价值只与这个集合的大小有关。

• $f(n)=\sum\limits_{i=0}^n (-1)^i\dbinom{n}{i} g(i) \iff g(n)=\sum\limits_{i=0}^n (-1)^i\dbinom{n}{i}f(i) $

  • 最对称的形式，证明就让关系矩阵相乘，证明所得的矩阵是单位矩阵即可。
    关系矩阵\(A[n][i]=(-1)^i\dbinom{n}{i},A^{-1}[n][i]=(-1)^i\dbinom{n}{i}\)

• $f(n)=\sum\limits_{i=0}^n \dbinom{n}{i} g(i) \iff g(n)=\sum\limits_{i=0}^n (-1)^{n-i}\dbinom{n}{i}f(i) $

  • 一般来说不会在左边凑出\(-1\)，既然反演的充要条件是关系矩阵互逆，那么在矩乘的时候，把左边的\((-1)^i\)直接推到右边变成\((-1)^n\)那么右边就变为了\((-1)^{n+i}\)即\((-1)^{n-i}\)
    关系矩阵\(A[n][i]=\dbinom{n}{i},A^{-1}[n][i]=(-1)^{n-i}\dbinom{n}{i}\)
  • 这里的\(f(n)\)表示如果钦定某n个元素被选，实际上不一定把这n个元素全选上，而是选这n个元素的一个子集的方案数，\(g(n)\)表示恰好选某n个元素的方案数

• $f(n)=\sum\limits_{i=n}^N \dbinom{i}{n} g(i) \iff g(n)=\sum\limits_{i=n}^N (-1)^{i-n}\dbinom{i}{n}f(i) $

  • 先证明一个引理: 一对互逆的矩阵，转置后仍然互逆

  \(AB=I\iff B^TA^T=I\iff A^TB^T=I\),第一步是根据转置矩阵的性质，第二步是因为左逆等于右逆

  因此这个式子就是上个式子的关系矩阵转置后得到的,至于求和上下界的改变，只是把二项式系数值为0的部分给去掉了而已
  关系矩阵\(A[n][i]=\dbinom{i}{n},A^{-1}[n][i]=(-1)^{i-n}\dbinom{i}{n}\)

  • 这里的\(f(n)\)表示钦定某n个元素被选的方案数

NTT优化

注意，把反演后式子中的二项式系数拆开，就会发现一个加法卷积的形式，可以用ntt优化。

单位根反演

就是一个式子：
\([n|k]=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}(\omega_n^k)^i\)
证明分类讨论\(n\)是否整除\(k\)，然后一个用等比数列求和公式，另一个值全为\(1\)

应用

1. 一般用法就是把求和中含有取模的东西给换掉。
   但是一般来说真正用单位根的情况很少，一般都是用膜意义下具有相同性质的东西——原根
   原根的知识点这里
2. 用来加速加法卷积(即多项式乘法)