【CDQ分治小记】

补充

对于某一维限制如果是min(a,b)，或者是max(a,b)，可以分两种情况讨论然后用cdq解决这一维限制

概论

在OIwiki上可以看到cdq分治有三种不同的作用：

1. 解决序列的点对问题
2. 优化1D1D动态规划
3. 将动态问题以多一个log代价，转化为静态问题。

但最本质的应该是第三个：以静制动
cdq分治和树套树往往可以互相代替，cdq分治优点是空间和常数，而且相对更容易嵌套，树套树的好处就是可以在线

算法原理

cdq分治的主要过程就是如果有一维，只有前面的对后面的有贡献（为了保证这个条件，通常要按多关键字排序），我们可以分治这一维
考虑一个既有修改C也有查询Q的动态问题，把操作序列记下来，如果C可以向Q进行分批次的贡献，那么这个问题就可以以一个log的代价转化为静态问题（也就是所有查询都在修改后）
一般来说，贡献可以相加的形式是比较容易做的

例子：在一个平面内，矩形加，矩形求和

我们发现直接维护比较困难，考虑离线做法：
一个查询Q是由之前所有的C累加而来，那么设cdq(l,r)表示在区间[l,r]中，Q累加的贡献，
那么递归调用cdq(l,mid),cdq(mid+1,r),然后考虑[l,mid]中所有的C对[mid+1,r]中所有Q的贡献，这就变成了一个静态问题，可以用扫描线+历史和线段树解决

经典例题：多维偏序
在一个k维空间中有n个点，第i个点的坐标为\((a_{i,1},a_{i,2},\cdots ,a_{i,k})\)，对每个点求出其前缀超立方体所包含的点数

cdq处理的是动态问题，所以我们先把这个静态问题转化为动态问题，这里有一个经典套路：选一个维度进行排序，把这个维度当成时间维，那么k维的静态问题就转化为了k-1维的动态问题，一般来说选取的时间维通常是比较简单的维度，只有一个限制
然后套用cdq分治，这个k-1维的动态问题就转化为了k-1维的静态问题，如果维度依然较高，可以持续这个过程，最后一般用一个数据结构维护最后一个维度。

优化1D1D动态规划

实际上可以用cdq分治优化的模型就是多维偏序的模型，只是这里必须要先cdq(l,mid)再从[l,mid]转移到[mid+1,r],最后再cdq(mid+1,r)，这是要保证dp值算出后才能进行转移。

细节

1. 对于各个维度相同的点一般来说要在最初先合并，一块算贡献，当然，如果有一个维度没有要求小于等于而是小于，就无所谓了
2. cdq分治的排序，除了用数据结构维护的那一维，一定要注意按照这种排序规则是否，只会从前往后贡献（极易出错）
3. cdq嵌套时，通常在结构体中多记录一些信息，用1,2表示在上一层cdq中，其处于左区间还是右区间。
4. 一般来说，在结构体中存一个变量id，表示对应的点的编号，这样就不用在结构体中保存答案了，只需再开一个ans数组，存下每个点的值，这样在多个cdq嵌套时，可以减少sort的次数，一定程度上减小常数，对于可以后序遍历的cdq分治，也可以用归并排序减小常数。

总结

“cdq分治”就是指在一维上只有前面对后面有贡献，比如数据结构只有时间前面的修改对时间后面的询问有贡献，也可以使用这个算法，然后分治这一维，分治的每层需要维护分治中线左边对右边的贡献。
复杂度\(O(n\log n)\)