【博弈论记录】

有向无环图游戏模型

把所有局面看做点，操作看做有向边，则整个游戏为一个DAG。
这个DAG有一个初始点，两个人轮流操作，每次操作可以选当前点的任意一条出边的终点作为新的当前点。最终无法移动的人输。

证明博弈论的基本思路：

1. 将所有局面划分为两个集合，一类对应先手必败，一类对应先手必胜。
2. 证明任意一个必胜局面，可以走到一个必败局面
3. 证明任意一个必败局面，一定会走到一个必胜局面

SG函数

对于一个局面，即DAG上的一个点\(x\)，定义这个点的\(sg(x)=mex(\{sg(y)|(x,y)\in E\})\),其中\(sg(x)=0\)的点\(x\)为必败局面，反之，为必胜局面
对于一个有向无环图游戏，我们总可以把这个DAG建出来，暴算\(sg\)，来判断局面，但是大多数情况点数，边数过多，因此要用到更巧妙的证明或是打表找规律。
对于单个的有向无环图游戏，其实没必要让\(sg\)函数取\(mex\)，只用\(0/1\)就够了，若能到达\(0\)，则\(sg=1\)，否则\(sg=0\).
但是之所以要用mex运算，是因为mex运算的sg函数，可以用于sg定理。

有向无环图游戏的组合：

即有多个DAG，每个DAG都有一个当前点，每个两人轮流操作，每次选择一个DAG，将上面的当前点沿着一条边移动，最终无法操作的人输。

SG定理

对于有向无环图游戏的组合，先手必胜当且仅当所有子游戏的初始局面的sg函数的异或和不为0
证明：
对于最终态，所有子游戏的sg都为0，此时sg函数的异或和为0，对应必败状态
当当前局面不为最终态时，

1. 若sg函数的异或和为0，那么对任意一个DAG操作，这个sg函数的值一定与原先不同（mex运算说明不存在一条出边，其终点与当前点的sg相同），那么所有sg函数的异或和一定改变，即不为0。也就是证明了必败一定走向必胜
2. 若sg函数的异或和不为0，考虑提供最高位1的DAG，那么把这个DAG的sg的这一位改为0，后面的位根据异或和，若为1，则取反；否则不变。显然这种构造方式使得新局面的异或和为0，且这个DAG的新的sg函数一定小于之前的sg，那么这个新的sg也一定能走到（mex运算说明任意一个小于当前点的sg值，当前点一定有一条出边满足条件）

应用

1. Nim游戏
   有n堆石子，每堆石子有\(a_i\)个，两人轮流从任意一堆石子中选一堆拿走至少一个，无法操作的人输
   实际上每堆石子是一个子游戏，设\(sg(x)\)表示有x个石子的子游戏的sg值，那么发现\(sg(x)=x\)，所以直接判断\(a_i\)的异或和即可。
2. Bash-Nim
   取石子时，每堆石子至少拿一个，至多拿\(b_i\)个，其余同上
   不难发现，\(sg(i,x)=x\%(b_i+1)\)，然后套sg定理即可
   思考：如果取石子时再给定一个下界，还能做吗
3. K-nim
   先把SG定理拓展一下：若每次操作可以选择1~k个子游戏进行操作，那么先手必败当且仅当把所有子游戏的sg值写成二进制后，每一位上都有k+1倍数个1（相当于写成二进制后做k+1进制下不进位加法后结果为0）
   注意到普通SG是k=1下的情形。
   证明：

1. 若结果为0，则先手无论如何操作都会将至多k个DAG的sg值变小，考虑所有改变的sg中最高位，这一位置，只能从1变到0，否则说明更高位会有1变到0，与前提不符；那么最多改动k个，这一位最终一定不会为0，导致所有sg的k+1进制下加法结果不为0
2. 若结果不为0，考虑这样一个流程，从最高非0位开始枚举，假设这一位值为\(b\)，之前已经选了\(c\)个sg的值进行改动，其中有\(c_1\)个sg的值这一位为1，有\(c_2\)个sg的值这一位为0，那么\(0\leq b\leq k,0\leq c_1+c_2\leq k\)。\(1^\circ\) 若\(b\leq k-c_2\),那么一定可以从\(c_1\)个已经选的数和没选的\(k-(c_1+c_2)\)中选出b个这一位为1的变成0.\(2^\circ\) 若\(b>k-c_2\),移项得\(c_2>k-b\),也就是\(c_2\geq k+1-b\)，那么只需从\(c_2\)中选出\(k+1-b\)个1变为0，即可满足条件。
   根据拓展后的sg定理，把石子数作k+1进制下的不进位加法，判断是否为0即可。

4. 阶梯nim
   有n堆石子，每次操作可以选择2~n中的数k，把第k堆石子中的一部分放到第k-1堆，或者把第一堆中的一些石子移出游戏，最终无法操作者输。
   结论：先手必胜当且仅当奇数堆的石子的异或和不为0
   证明前先考虑博弈论中一种常用的策略：模仿
   如果对手把偶数堆中的石子拿到奇数堆，那么一定可以在下一步把奇数堆中的石子放入偶数堆，这提醒我们偶数堆中的石子没有意义
   证明：

1. 若奇数堆石子的异或和为0，那么不论怎么移动，都会导致这个局面被破坏
2. 若奇数堆石子的异或和不为0，那么考虑提供最高位1的奇数堆石子，一定可以通过减小这堆石子的数量，使得奇数堆石子的异或和为0