【数据结构模型整理】

矩形chkmax，单点求值

先考虑一个简单的情况，矩形为3-side矩形，假设这些矩形都贴着右边界，那么我们可以从左往右扫描线，每遇到一个矩形的左边界，就在线段树上区间chkmax，扫到对应的单点时，就进行查询。用一个标记永久化的线段树+扫描线很容易维护。
考虑4-side 矩形的情况，发现我们很难通过扫描线加一维数据结构进行维护，因为chkmax不支持差分，也不能进行撤销操作，那么我们沿用刚才3-side矩形的思路，考虑对每个矩形找一条线劈开，变成两个3-side矩形。

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思考如下分治做法：
进行中点分治，对于所有完全包含在当前区间内的且跨过中点的矩形，发现分治时取的中点，恰把这些矩形切成了两个3-side矩形，把这些矩形扫描线，同时把在当前区间里的查询点的答案进行更新。然后往左右递归成两个子问题即可。

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上述做法的正确性应该不难发现。分析一下它的复杂度：
对于每个矩形我们只会在第一次被区间中点划开时计算，因此矩形修改的总复杂度是一个log，对于单点查询每个点最多被log个区间覆盖，每次查询的复杂度是一个log，因此查询的总复杂度是两个log。
总复杂度:\(O(q\log^2n)\)
具体实现可以把矩形用vector记到它的左端点上，那么每个矩形被扫过的总次数是1个log，不影响复杂度。查询点同理，用vector记下来，比较方便。

二维数点

题意：
在一个二维平面内，给定n个点，每次询问一个矩形中的点数。

1. 树状数组：
   适用范围：静态，可离线
   做法：可以预先把询问差分成两个1-side矩形，再把这n个点按横坐标排序，从左往右扫描每个点，树状数组维护对应纵坐标的点数。
   时间复杂度：\(O(NlogN)\)
   空间复杂度：\(O(N)\)
   常数：小
   代码难度：小
2. 主席树：
   适用范围：静态，支持在线
   做法：先对n个点按横坐标排序，依次加入到主席树中，对于每个询问同样差分成两个1-side矩形。
   时间复杂度：\(O(NlogN)\)
   空间复杂度：\(O(NlogN)\)
   常数：中
   代码难度：小
3. 树套树：
   适用范围：支持单点修改，可在线
   做法：数点满足可差分性，可以用树状数组套动态开点线段树或BIT套平衡树。
   做法：树状数组维护一个维度，若是套动开线段树，则线段树下标x维护纵坐标为x，横坐标在这棵线段树所在树状数组的区间内的点数。单点修转化为插入和删除，trival。（用set没法做哈，想要一个log的空间必须写平衡树）
   时间复杂度：\(O(N\log^2N)\)
   空间复杂度：前者\(O(N\log^2N)\)，后者\(O(N\log N)\)
   常数：大
   代码难度：大

区间颜色种数

题意：给定一个序列，每个点有一个颜色，每次询问一个区间，求区间颜色种数。

1. 莫队
   莫队擅长维护区间中每种数的出现次数这样的信息。显然左右端点加1减1很容易维护颜色数，因此可离线的话，可以\(O(n\sqrt{m}+m)\)解决。
   但莫队太无脑了，以下都是一个log的做法
2. 考虑离线下来扫描线枚举右端点，时刻维护每种颜色最后出现的位置，在这个位置值为1，其余为0，查询即为对应区间的和，BIT维护即可。
3. 考虑区间颜色的一个常见套路，先算出每个点的lst[i]表示，位置i的颜色上一次出现的位置。我们扫描线枚举右端点，用数据结构维护每个左端点的值，容易发现其实变成区间加，单点求值，BIT维护即可。
4. 实际上可以转化为二维数点模型，区间[l,r]中lst<l的点的个数，用上面总结的方法求解。

区间众数

维护区间gcd

用线段树维护，复杂度为\(O(\log N+\log V)\),可以用势能分析证明

询问区间中所有子区间的信息

1. 询问和
   转成一阶，二阶，三阶前缀和即可
2. 更通用的做法
   把询问区间离线下来，按右端点排序，对序列维扫描线，扫描到一个询问区间的右端点\(r\)时，进行查询，扫描线的过程中，用数据结构维护出每个\(i\in [1,r-1]\)的信息，下标i存储以i为左端点，右端点属于[i,r]的所有区间的信息（也可以理解为如果对每个i维护出区间[i,r]的值，那么实际上就是要维护i的历史版本和）。
   如果信息是可累加的，那么对于询问区间[l,r]，只需在扫描线扫到r处时，查询[l,r]的区间历史版本和即可。
   例题
   按照套路扫描线，那么可以用线段树维护出每个i，区间[i,r]的状态（只有0/1），修改都是对一个后缀异或1，那么维护每个点的历史版本和即可。
   有两种做法：
   一个是用线段树维护val，每次操作即：区间01翻转，全局对值为1的数的val++
   二是用两颗平衡树维护，一颗存值为0的数，一颗存值为1的数，后缀异或即把两颗平衡树的后缀交换，然后对存值为1的数的平衡树全局+1即可。

矩形加，矩形求和

终于又更新了！
题目转送门

1. 二维树状数组
   适用范围： \(n\)范围较小，可以开下\(O(n^2)\)大小的数组
   设矩形以(a,b)为左上角，(c,d)为右下角
   先差分，对于一次矩形+val,差分成add(a,b,val),add(c+1,d+1,val),add(c+1,b,-val),add(a,d+1,-val);
   那么对一个点(i,j)进行查询得到的结果，就是这个点的单点值，但我们想求的是二维前缀和\(s_{i,j}\)
   推一下式子：
   \(\begin{aligned}s_{i,j} &=\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^ja_{x,y}\\&=\sum_{x=1}^i\sum_{y=1}^j\sum_{u=1}^x\sum_{v=1}^yd_{u,v}\\&=\sum_{u=1}^i\sum_{v=1}^jd_{u,v}\sum_{x=u}^i\sum_{y=v}^j1\\&=\sum_{u=1}^i\sum_{v=1}^jd_{u,v}\times (i-u+1)(j-v+1)\end{aligned}\)
   我们仿照一维树状数组区间加区间求和的方法，把式子拆成几项，分别用树状数组来维护,因为\((i-u+1)(j-v+1)=(i+1)(j+1)-(i+1)u-(j+1)v+uv\)，所以分别维护\(d_{u,v},d_{u,v}\times u,d_{u,v}\times v,d_{u,v}\times uv\)即可。
   优点:\(O(q\log^2 n)\),常数小，很容易写，支持在线。
   缺点：空间\(O(n^2)\),当\(n\)较大时不适用
   提交记录
2. cdq分治+历史版本和线段树
   适用范围：可离线
   这是一个动态问题，而且满足每个查询只与他前面的修改有关，且修改可以分批次地贡献到查询，那么用cdq分治，可以用一个log代价转化为静态版本：
   即二维平面里有一堆矩形，我们希望询问一个矩形区域的和。
   先用扫描线降下一维，矩形和，和矩形加都转化为差分操作，那么可以用历史和线段树维护。
   一些细节：要添加一个清空标记，因为每次cdq分治后都要清空。在相邻两个查询或修改中要更新历史和几次要想清楚。
   时间复杂度同上，但是常数大一些，优点是空间是线性了。
   提交记录
3. cdq分治+树状数组
   首先还是cdq分治，但是对于这个静态版本，我们没有必要用复杂的历史版本和线段树，其实可以仿照二维树状数组的手法，拆成四个树状数组，但是由于扫描线扫掉了一维，因此只需开一维就够了，空间复杂度为线性，而且比历史和线段树好些许多，常数也比线段树小。
4. 二维线段树
   是的，树套树也能支持矩形修改。方法就是标记永久化，外层树每个节点存两颗线段树，一颗是val，一颗是lazy，在外层树上划分区间时，对于完全包含的区间还要额外在lazy上进行修改，对于路径上的区间只在val上修改，还要乘这个节点所表示的区间和修改区间的交作为系数。查询时，对于路径上的区间要乘上查询区间和当前区间的交作为系数，对于完整包含的区间直接查询累计答案即可。