2025年2月8日
欧拉定理
摘要： 基本欧拉定理 若 \(\gcd(a,p)=1\)，则： \[a^c\equiv a^{c\bmod \varphi(p)}\pmod p \]注：费马小定理即欧拉定理在 \(p\) 为质数时的特殊情况。 扩展欧拉定理 \[a^c\equiv\begin{cases}a^{c\bmod \varphi 阅读全文
posted @ 2025-02-08 17:09 O_v_O 阅读(22) 评论(0) 推荐(0)
各类欧几里得算法
摘要： 注意：本博客公式较多，字体小，建议放大观看。 辗转相除法 更相减损术 \[\gcd(a,b)=\gcd(a-b,b) \]欧几里得算法 \[\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b) \]注意到当 \(a>b\) 时 \(a\bmod b<\frac{1}{2}a\)，所以至多递归 \(O 阅读全文
posted @ 2025-02-08 17:05 O_v_O 阅读(47) 评论(0) 推荐(0)
2025年2月3日
决策单调性
摘要： 决策单调性的解释 对于一个常见的一维 \(dp\)：\(f_i=\min/\max\{f_j+w(j,i)\}\)，显然每一个点的 \(dp\) 值只能从 \(\{j|j<i\}\) 的 \(f_j\) 转移而来，我们记每一个点 \(i\) 的最优决策转移点为 \(p_i\)。 如果我们从 \(1\ 阅读全文
posted @ 2025-02-03 20:27 O_v_O 阅读(51) 评论(0) 推荐(0)
2025年1月31日
FWT
摘要： 算法简介 我们知道 FFT 可以在 \(O(n\log n)\) 的时间内求解 \(C_k=\sum\limits_{i+j=k}A_i\times B_j\)。而类似的，我们将求和符号中的加号换成其余的位运算符号，即得到了 FWT。 FWT 可以在 \(O(n\log n)\) 时间内求出： \( 阅读全文
posted @ 2025-01-31 16:01 O_v_O 阅读(29) 评论(0) 推荐(0)
Lucas，鸽巢与错排
摘要： Lucas定理 定理公式 \(p\) 为素数时： \[\binom{n}{m}\equiv\binom{n\%p}{m\%p}\cdot\binom{n/p}{m/p}\pmod{p} \]定理证明 先证明两个引理： \(p\) 为素数时，\(\binom{i}{p}\equiv0\pmod{p}\ 阅读全文
posted @ 2025-01-31 16:00 O_v_O 阅读(31) 评论(0) 推荐(0)
生成函数
摘要： 普通生成函数 将数列 \(\{a_i\}\) 写成一个函数 \(A(x)=\sum{a_ix^i}\) 的形式叫做普通生成函数。 对于生成函数来说，绝大数运算法则都是同平常所说的函数一样的。 例如 \(A(x)+B(x) = \sum\limits{(a_i+b_i)x^i}\) 和 \(A(x)B 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:59 O_v_O 阅读(18) 评论(0) 推荐(0)
多项式基础
摘要： 多项式基本概念 形如 \(F(x)=a_1x+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^n\) 的东西叫多项式。 其中上面的 \(a_i\) 称为多项式的第 \(i\) 项系数。 暴力多项式全家桶 多项式加减 对应位置上加减即可。 多项式乘 乘积 \(h_i=\sum\limits_{j=0} 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:58 O_v_O 阅读(38) 评论(0) 推荐(0)
斯特林数
摘要： 第二类斯特林数 第二类斯特林数 \(\begin{Bmatrix} n \\m \end{Bmatrix}\) 表示把 \(n\) 个不同元素划分成 \(m\) 个相同的集合中（不能有空集）的方案数。 求法： 递推式 \[\begin{Bmatrix} n \\m \end{Bmatrix}=m\b 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:56 O_v_O 阅读(30) 评论(0) 推荐(0)
二项式反演
摘要： 基本公式 \[F(n)=\sum\limits_{i=m}^n\binom{n}{i}G(i)\Leftrightarrow G(n)=\sum\limits_{i=m}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}F(i) \]\[F(n)=\sum\limits_{i=m}^n\binom{i 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:54 O_v_O 阅读(15) 评论(0) 推荐(0)
容斥原理
摘要： 容斥原理基本公式 对于一个集合 S 的一部分子集构成的簇 P 有： \[|\mathop{\bigcup}\limits_{T\in P}T| =\sum\limits_{Q\subset P}(−1)^{|Q|−1}|\mathop{\bigcap}\limits_{T\in Q}T| \]证明： 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:52 O_v_O 阅读(148) 评论(1) 推荐(1)