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算法简介 我们知道 FFT 可以在 \(O(n\log n)\) 的时间内求解 \(C_k=\sum\limits_{i+j=k}A_i\times B_j\)。而类似的，我们将求和符号中的加号换成其余的位运算符号，即得到了 FWT。 FWT 可以在 \(O(n\log n)\) 时间内求出： \( 阅读全文
posted @ 2025-01-31 16:01
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Lucas定理 定理公式 \(p\) 为素数时： \[\binom{n}{m}\equiv\binom{n\%p}{m\%p}\cdot\binom{n/p}{m/p}\pmod{p} \]定理证明 先证明两个引理： \(p\) 为素数时，\(\binom{i}{p}\equiv0\pmod{p}\ 阅读全文
posted @ 2025-01-31 16:00
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普通生成函数 将数列 \(\{a_i\}\) 写成一个函数 \(A(x)=\sum{a_ix^i}\) 的形式叫做普通生成函数。 对于生成函数来说，绝大数运算法则都是同平常所说的函数一样的。 例如 \(A(x)+B(x) = \sum\limits{(a_i+b_i)x^i}\) 和 \(A(x)B 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:59
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多项式基本概念 形如 \(F(x)=a_1x+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^n\) 的东西叫多项式。 其中上面的 \(a_i\) 称为多项式的第 \(i\) 项系数。 暴力多项式全家桶 多项式加减 对应位置上加减即可。 多项式乘 乘积 \(h_i=\sum\limits_{j=0} 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:58
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第二类斯特林数 第二类斯特林数 \(\begin{Bmatrix} n \\m \end{Bmatrix}\) 表示把 \(n\) 个不同元素划分成 \(m\) 个相同的集合中（不能有空集）的方案数。 求法： 递推式 \[\begin{Bmatrix} n \\m \end{Bmatrix}=m\b 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:56
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基本公式 \[F(n)=\sum\limits_{i=m}^n\binom{n}{i}G(i)\Leftrightarrow G(n)=\sum\limits_{i=m}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}F(i) \]\[F(n)=\sum\limits_{i=m}^n\binom{i 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:54
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容斥原理基本公式 对于一个集合 S 的一部分子集构成的簇 P 有： \[|\mathop{\bigcup}\limits_{T\in P}T| =\sum\limits_{Q\subset P}(−1)^{|Q|−1}|\mathop{\bigcap}\limits_{T\in Q}T| \]证明： 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:52
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组合恒等式 定义式 \[C_n^m=\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{n^{\underline{m}}}{m!} \] 递推式 \[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m} \]证明： 相当于从 \(n\) 阅读全文
posted @ 2025-01-31 15:49
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