快速幂入门
快速幂这个东西比较好理解，但实现起来到不老好办，记了几次老是忘，今天把它系统的总结一下防止忘记。
首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次，这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别，快速幂能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：
假设我们要求a^b，那么其实b是可以拆成二进制的，该二进制数第i位的权为2^(i-1)，例如当b==11时
a^11=a^(2^0+2^1+2^3)
11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) ，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次，但是这三项貌似不好求的样子....不急，下面会有详细解释。 由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具： & 和 >> &运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。 >>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释。
1 #include<cstdio> 2 using namespace std; 3 int main() 4 { 5 int a,b; 6 scanf("%d%d",&a,&b); 7 int ans=1,base=a; 8 while(b!=0) 9 { 10 int c=b&1; 11 if(c==1)ans=ans*base; 12 base=base*base; 13 b=b>>1; 14 } 15 printf("%d",ans); 16 return 0; 17 }
代码很短，死记也可行，但最好还是理解一下吧，其实也很好理解，以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。
其中要理解base*=base这一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然后同理 base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊，再看上 面的例子，a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，这三项是不是完美解决了，，嗯，快速幂就是这样。
顺便啰嗦一句，由于指数函数是爆炸增长的函数，所以很有可能会爆掉int的范围，根据题意决定是用 long long啊还是unsigned int啊还是mod某个数啊自己看着办。
不知道，你看懂没……如果还是没懂，就给个面子装懂好嘛……
接着我们从数的快速幂，过渡到矩阵的快速幂。
首先要知道矩阵的乘法：
(AB)[I,j]=A[i,1]*B[1,j]+A[i,2]*B[2,j]+A[i,3]*B[3,j]+……A[i,n]*B[n,j]
公式描述：
来看看矩阵相乘实现的模板。
1 const int MOD=10000; 2 int N; 3 struct mat 4 { 5 int a[N][N]; 6 }; 7 mat mat_mul(mat x,mat y)//实现两个矩阵相乘，返回的还是一个矩阵。 8 { 9 mat res;//用来表示得到的新的矩阵； 10 memset(res.a,0,sizeof(res.a)); 11 for(int i=0;i<N;i++) 12 for(int j=0;j<N;j++) 13 for(int k=0;k<N;k++) 14 { 15 res.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j]; 16 res.a[i][j]%=MOD;//这一步看题目具体需要了 17 } 18 return res; 19 }
这类矩阵乘方的题，指数都是很大很大很大很大很大很大很大的。。。霸王硬上弓的话，很容易超时的 T_T 。。。所以得快速幂→_→
学过之后发现，其实矩阵快速幂 的核心思想跟 以前学过的快速幂取模非常非常相似，只是矩阵乘法需要另外写个函数，就是上面那个代码。。。
快速幂的思路就是：
设A为矩阵，求A的N次方，N很大，1000000左右吧。。。
先看小一点的，A的9次方
A^9
= A*A*A*A*A*A*A*A*A 【一个一个乘，要乘9次】
= A*(A*A)*(A*A)*(A*A)*(A*A)【保持格式的上下统一，所以加上这句】
= A*(A^2)^4 【A平方后，再四次方，还要乘上剩下的一个A，要乘6次】
= A*((A^2)^2)^2【A平方后，再平方，再平方，还要乘上剩下的一个A，要乘4次】
也算是一种二分思想的应用吧，1000000次幂，暴力要乘1000000次，快速幂就只要（log2底1000000的对数） 次，大约20次。。。这。。。我没错吧。。。
所以就要用到矩阵快速幂了 不过先暂时说到这里
暂不属于咱们快速幂入门的范畴了
